Question

（2012•奉賢區(qū)三模）如圖，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外側(cè)作Rt△ABE和Rt△ACF，過(guò)點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q，
（1）若Rt△ABE和Rt△ACF都是等腰三角形，直接寫(xiě)出EP與FQ有怎樣的數(shù)量關(guān)系；
（2）若Rt△ABE和Rt△ACF中滿足AB=k AE，AC=k AF時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)?zhí)骄縀P與FQ有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
（3）若Rt△ABE和Rt△ACF中滿足AB=k AE，AC=mAF時(shí)，連接EF交射線GA于點(diǎn)D，試探究ED與FD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出AE=AB，∠PEA=∠BAG進(jìn)而得出△PEA≌△GAB，得出PE=AG，同理可得出QF=AG，即可得出答案；
（2）首先根據(jù)對(duì)應(yīng)角∠ABG=∠EAP，∠AGB=∠EPA=90°，得出△ABG∽△EAP，進(jìn)而得出△ACG∽△FAQ，即可得出

AG

EP

=

AG

FQ

求出EP=FQ；
（3）由（2）可知：

AB

EA

=k，

AC

FA

=m，進(jìn)而得出

EP

FQ

=

m

k

，再利用平行線性質(zhì)得出ED與FD的數(shù)量關(guān)系．

解答：解：（1）結(jié)論：EP=FQ．
理由：∵∠EAB=90°，
∴∠EAP+∠BAG=90°，
∵∠PEA+∠PAE=90°，
∴∠PEA=∠BAG，
在△PEA和△GAB中，

∠EPA=∠AGB ∠AEP=∠BAG EA=AB

，
∴△PEA≌△GAB（AAS），
∴PE=AG，
∴同理可得出：QF=AG，
∴EP=FQ．

（2）結(jié)論：EP=FQ．
理由：∵四邊形ABME是矩形，
∴∠BAE=90°，∴∠BAG+∠EAP=90°．
∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠EAP．
∵∠AGB=∠EPA=90°，
∴△ABG∽△EAP，
∴

AG

EP

=

AB

EA

．
∵AB=kAE，∴

AG

EP

=k，
同理△ACG∽△FAQ，
∴

AG

FQ

=

AC

FA

=k，
∴

AG

EP

=

AG

FQ

．
∴EP=FQ．

（3）結(jié)論：

ED

FD

=

m

k

．
由（2）可知：
∴

AB

EA

=k，

AC

FA

=m
∴

AG

EP

=k，

AG

FQ

=m．
∴

EP

FQ

=

m

k

，
∵EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，
∴EP∥FQ．
∴

ED

FD

=

EP

FQ

=

m

k

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出△ABG∽△EAP進(jìn)而得出線段之間關(guān)系是解題關(guān)鍵．