Question

【題目】如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，平行于軸，交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，試求出線段的最大值，并寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或.

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）如圖1，延長交軸于點(diǎn)，先利用銳角三角函數(shù)的知識(shí)得到MD與ME的關(guān)系式，把求MD的最大值轉(zhuǎn)化為求ME的最大值，再利用ME=MF－EN得出ME關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出ME的最大值，問題即得解決；

（3）如圖2，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，先證明是等腰三角形，得=∠ABC，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，則，于是只要求出直線的解析式，再與拋物線的解析式聯(lián)立組成方程組，解方程組即得符合條件的點(diǎn)P；當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，作直線，再求直線BH與拋物線的交點(diǎn)即得符合條件的另一個(gè)點(diǎn)P.

解：（1）將點(diǎn)和點(diǎn)代入，得

.解得

∴拋物線的解析式為.

（2）如圖1，延長交軸于點(diǎn)，

則，

∵，

∴.

∵A（0,4）

∴.

∴.

∴.

∴當(dāng)線段最長時(shí)，最長.

∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

∵點(diǎn)，，∴直線的解析式為.

∴，∴.

∴當(dāng)時(shí)，線段取最大值為.

∴相應(yīng)的MD的最大值為，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或.

理由如下：如圖2，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，∵OB=3，OA=4，∴AB=5，

∵=8，∴BC=5=AB，∴是等腰三角形，∴=∠ABC，

當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，則，∴直線BG與拋物線的交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)P.

此時(shí)，∴點(diǎn)，∴直線的解析式為.

聯(lián)立方程組，解得，（舍去），

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，4）；

當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，作直線，則，可得另一直線的解析式為.

解方程組，得，（舍去），

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11，－7）；

綜上，拋物線上存在一點(diǎn)，使得，且點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，4）或（11，－7）.