Question

【題目】類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”.

（1）概念理解

如圖1，在四邊形ABCD中，添加一個條件使得四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”.請寫出你添加的一個條件.

（2）問題探究

①小紅猜想：對角線互相平分的“等鄰邊四邊形”是菱形.她的猜想正確嗎？請說明理由。

②如圖2，小紅畫了一個Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并將Rt△ABC沿

∠ABC的平分線BB＇方向平移得到△A＇B＇C＇，連結(jié)AA＇，BC＇.小紅要是平移后的四邊形ABC＇A＇是“等鄰邊四邊形”，應(yīng)平移多少距離（即線段BB＇的長）？

Answer 1

【答案】（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任寫一個即可）；

【解析】（1）由“等鄰邊四邊形”的定義易得出結(jié)論；（2）①正確，②2； ．

（2）①先利用平行四邊形的判定定理得平行四邊形，再利用“等鄰邊四邊形”定義得鄰邊相等，得出結(jié)論；

②由平移的性質(zhì)易得BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，再利用“等鄰邊四邊形”定義分類討論，由勾股定理得出結(jié)論；

解：（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任寫一個即可）；

（2）①正確，理由為：

∵四邊形的對角線互相平分，∴這個四邊形是平行四邊形，

∵四邊形是“等鄰邊四邊形”，∴這個四邊形有一組鄰邊相等，

∴這個“等鄰邊四邊形”是菱形；

②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，

∴AC=，

∵將Rt△ABC平移得到△A′B′C′，

∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，

（I）如圖1，當AA′=AB時，BB′=AA′=AB=2；

（II）如圖2，當AA′=A′C′時，BB′=AA′=A′C′=；

（III）當A′C′=BC′=時，

如圖3，延長C′B′交AB于點D，則C′B′⊥AB，

∵BB′平分∠ABC，

∴∠ABB′=∠ABC=45°，

∴∠BB′D=′∠ABB′=45°，

∴B′D=B，

設(shè)B′D=BD=x，

則C′D=x+1，BB′=x，

∵在Rt△BC′D中，BD2+（C′D）2=（BC′）2

∴x2+（x+1）2=（）2，

解得：x1=1，x2=﹣2（不合題意，舍去），

∴BB′=x=，

（Ⅳ）當BC′=AB=2時，如圖4，

與（Ⅲ）方法一同理可得：BD2+（C′D）2=（BC′）2，

設(shè)B′D=BD=x，

則x2+（x+1）2=22，

解得：x1=，x2=（不合題意，舍去），

∴BB′=x=；

“點睛”本題主要考查了對新定義的理解，菱形的判定，勾股定理等，理解新定義，分類討論是解答此題的關(guān)鍵．