Question

如圖所示，在等腰Rt△ABC中，O是斜邊AC的中點，P是斜邊AC上的一個動點，D是直角邊BC上的一點，且PD＝PB，DE⊥AC，垂足為E．

(1)求證：PE＝BO；

(2)設(shè)AC＝2a，AP＝x，四邊形PBDE的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)證明因為△ABC是等腰直角三角形，O是斜邊AC的中點， 　　所以BO⊥AC，BO＝CO＝AC． 　　所以∠OBC＝∠C＝． 　　因為PB＝PD， 　　所以∠PBD＝∠PDB， 　　所以∠PBO＝∠PBD－∠OBC＝∠PDB－∠C＝∠DPE． 　　因為DE⊥AC， 　　所以∠PED＝＝∠BOP． 　　在△BPO與△PDE中， 　　 　　所以△BPO≌＝△PDE， 　　所以BO＝PE． 　　(2)由△BPO≌△PDE知DE＝PO． 　　因為△ABC是等腰直角三角形，O是斜邊AC的中點， 　　所以BO＝CO＝AO＝AC． 　　則DE＝PO＝a－x，BO＝PE＝a，OE＝x． 　　因為S四邊形PBDE＝S△BPO＋S梯形BOED， 　　所以y＝(a－x)·a＋(a＋a－x)·x 　　　　＝x2＋ax＋a2． 　　自變量x的取值范圍是0＜x＜a．