Question

某電影院共有1000個座位，票價不分等次，該影院的經(jīng)營經(jīng)念是：當票價不超過10元時，票可以全部售出；當票價高于10元時，每提高1元，將有30張票不能售出．為了獲得更好的收益，影院準備制定一個合適的票價，票價需滿足以下幾個條件：①票價為1元的整數(shù)倍；②放映一場電影的成本費用為5750元，票房收入必須高于成本費用．
求：（1）一張電影票的最低價格為多少元？
（2）當票價高于10元時，若票價為每張x（元），放映一場利潤為y（元），求y與x的函數(shù)關系式；
（3）當每張票多少元時，放映一場電影的利潤最高？最高為多少元？

Answer 1

解：（1）∵影院放映一場電影的成本費用為5750元，票房收入必須高于成本費用，
∴票房收入＞5750元，
∵該影院共有l(wèi)000個座位，
∴一張電影票的價格＞5.75元，
又∵票價為l元的整數(shù)倍，
∴該院一張電影票的最低價格為6元；

（2）當票價高于10元時：y=x[1000-30（x-10）]-5750=-30x²+1300x-5750，
∵，
∴5＜x＜38，
又∵x為大于10的整數(shù)，
∴10＜x≤38．
∴y=-30x²+1300x-5750（10＜x≤38的整數(shù)）；

（3）當票價不超過l0元時：y=1000x-5750，
∵1000＞0，
∴y隨x的增大而增大，
∴當x=10時，y的值最大，此時y=1000×10-5750=4250（元）；
當票價高于10元時，y=-30x²+1300x-5750，
∵-30＜0，
∴當x=-=21≈22時，y的值最大，此時y=-30×22²+1300×22-5750=8330（元）．
綜上可知，當每張票定為22元時，放映一場電影的利潤最高，最高為8330元．
分析：（1）利用影院放映一場的成本費用支出為5750元，票房收入必須高于成本費用，該影院共有l(wèi)000個座位，即可求出x的最小值；
（2）根據(jù)利潤=票房收入-成本費用，即可求出當票價高于10元時y與x的函數(shù)關系式；
（3）當票價不超過l0元時，利用一次函數(shù)的增減性求出最值，當票價高于10元時，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值，再比較即可．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的應用以及一次函數(shù)的增減性和二次函數(shù)的最值求法，利用已知條件根據(jù)自變量的取值范圍得出函數(shù)的解析式是解題的關鍵．