Question

在RT△ABC中，AB=，∠A=90°，∠ABC=45°．點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)B開(kāi)始以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿射線(xiàn)CB的方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，連接ED并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，如圖．
（1）設(shè)△EBD的面積為S，寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）是否存在t的值，使得AF：FC=1：4？如果存在，求出t的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，S_△ADF：S_△EBD=1：2？

Answer 1

解：（1）作DP⊥BC，AQ⊥BC，垂足分別為P、Q．
∵AB=3，∠A=90，∠ABC=45°，
∴△ABC為等腰直角三角形，BC=6，
∴AQ=3，
∵D是AB中點(diǎn)，
∴DP=AQ=，
∴S=BE×DP=t×=t，
∴S=t；

（2）作AG∥BC交EF延長(zhǎng)線(xiàn)于G點(diǎn)，
∴∠G=∠E，
∵D為中點(diǎn)，
∴DB=DA，
在△EBD和△GAD中，
，
∴△EBD≌△GAD（AAS），
∴AG=BE=t，CE=6+t，
∵AG∥BC，
∴△AGF∽△CEF，
∴AF：FC=AG：CE，
若AF：FC=1：4 則AG：EC=1：4，
∵AG=t，EC=6+t，
得t：（6+t）=1：4，
解得：t=2，
∴t=2時(shí)，AF：FC=1：4；

（3）∵△AGF∽△CEF，
∴AG：EC=AF：FC，
∵AB=AC=3，
∴CE=6+t，
∴AF=，
∴S_△ADF=AD×AF=××=，
∵S_△EBD=t，
若S_△ADF：S_△EBD=1：2，
∴：t=1：2，
解得：t=0或3，
∵t=0時(shí)，三角形不存在，
∴t=3時(shí)，S_△ADF：S_△EBD=1：2．
分析：（1）作DP⊥BC AQ⊥BC，由∠A=90，∠ABC=45°，推出△ABC為等腰直角三角形和BC的長(zhǎng)度后，即可得，AQ=3，再由D是AB中點(diǎn)，推出DP的長(zhǎng)度，即可推出S=t；
（2）作AG∥BC交EF延長(zhǎng)線(xiàn)于G點(diǎn)，通過(guò)求證△EBD≌△GAD，即可推出AG=BE=t，CE=6+t，由AG∥BC，可知△AGF∽△CEF，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例推出AF：FC=AG：CE后，解方程即可推出t的值；
（3））由（2）得，△AGF∽△CEF，推出比例式，AG：EC=AF：FC后，即可得AF的長(zhǎng)度，然后根據(jù)三角形面積公式推出S_△ADF的值，由S_△EBD=t，根據(jù)S_△ADF：S_△EBD=1：2，解方程即可推出t的值，最后分析討論即可確定的值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積公式，關(guān)鍵在于根據(jù)題意正確的做出輔助線(xiàn)，熟練運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理，認(rèn)真的進(jìn)行計(jì)算．