在RT△ABC中,AB=數(shù)學(xué)公式,∠A=90°,∠ABC=45°.點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn),點(diǎn)E從點(diǎn)B開(kāi)始以每秒一個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿射線(xiàn)CB的方向運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,連接ED并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F,如圖.
(1)設(shè)△EBD的面積為S,寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(2)是否存在t的值,使得AF:FC=1:4?如果存在,求出t的值,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)t為何值時(shí),S△ADF:S△EBD=1:2?

解:(1)作DP⊥BC,AQ⊥BC,垂足分別為P、Q.
∵AB=3,∠A=90,∠ABC=45°,
∴△ABC為等腰直角三角形,BC=6,
∴AQ=3,
∵D是AB中點(diǎn),
∴DP=AQ=,
∴S=BE×DP==t,
∴S=t;

(2)作AG∥BC交EF延長(zhǎng)線(xiàn)于G點(diǎn),
∴∠G=∠E,
∵D為中點(diǎn),
∴DB=DA,
在△EBD和△GAD中,
,
∴△EBD≌△GAD(AAS),
∴AG=BE=t,CE=6+t,
∵AG∥BC,
∴△AGF∽△CEF,
∴AF:FC=AG:CE,
若AF:FC=1:4 則AG:EC=1:4,
∵AG=t,EC=6+t,
得t:(6+t)=1:4,
解得:t=2,
∴t=2時(shí),AF:FC=1:4;

(3)∵△AGF∽△CEF,
∴AG:EC=AF:FC,
∵AB=AC=3,
∴CE=6+t,
∴AF=,
∴S△ADF=AD×AF=××=
∵S△EBD=t,
若S△ADF:S△EBD=1:2,
t=1:2,
解得:t=0或3,
∵t=0時(shí),三角形不存在,
∴t=3時(shí),S△ADF:S△EBD=1:2.
分析:(1)作DP⊥BC AQ⊥BC,由∠A=90,∠ABC=45°,推出△ABC為等腰直角三角形和BC的長(zhǎng)度后,即可得,AQ=3,再由D是AB中點(diǎn),推出DP的長(zhǎng)度,即可推出S=t;
(2)作AG∥BC交EF延長(zhǎng)線(xiàn)于G點(diǎn),通過(guò)求證△EBD≌△GAD,即可推出AG=BE=t,CE=6+t,由AG∥BC,可知△AGF∽△CEF,然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例推出AF:FC=AG:CE后,解方程即可推出t的值;
(3))由(2)得,△AGF∽△CEF,推出比例式,AG:EC=AF:FC后,即可得AF的長(zhǎng)度,然后根據(jù)三角形面積公式推出S△ADF的值,由S△EBD=t,根據(jù)S△ADF:S△EBD=1:2,解方程即可推出t的值,最后分析討論即可確定的值.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積公式,關(guān)鍵在于根據(jù)題意正確的做出輔助線(xiàn),熟練運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理,認(rèn)真的進(jìn)行計(jì)算.
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A、12B、6C、2D、3

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在Rt△ABC中,已知a及∠A,則斜邊應(yīng)為( 。
A、asinA
B、
a
sinA
C、acosA
D、
a
cosA

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A、9:4B、9:2C、3:4D、3:2

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