Question

【題目】在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，點(diǎn)M為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)B、C不重合），連接AM，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AM，垂足為M，MN交CD或CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N．

（1）求證：△CMN∽△BAM；
（2）設(shè)BM=x，CN=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．當(dāng)x取何值時(shí)，y有最大值，并求出y的最大值；
（3）當(dāng)點(diǎn)M在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求使得下列兩個(gè)條件都成立的b的取值范圍：①點(diǎn)N始終在線(xiàn)段CD上，②點(diǎn)M在某一位置時(shí)，點(diǎn)N恰好與點(diǎn)D重合．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=∠C=90°，

∴∠BAM+∠AMB=90°．

∵M(jìn)N⊥AM，即∠AMN=90°，

∴∠CMN+∠AMB=90°，

∴∠BAM=∠CMN，

∴△CMN∽△BAM；

（2）

∵△CMN∽△BAM，

∴．

∵BM=x，CN=y，AB=a，BC=AD=b，

∴，

∴y=（bx﹣x2）=（x2﹣bx）

=[（x﹣）2﹣]

=（x﹣）2+．

∵＜0，

∴當(dāng)x=時(shí)，y取最大值，最大值為．

（3）

由題可知：

當(dāng)0＜x＜b時(shí)，y的最大值為a，即=a，

解得：b=2a．

∴要同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件，b的值為2a．

【解析】（1）由四邊形ABCD是矩形可得∠B=∠C=90°，要證△CMN∽△BAM，只需證∠BAM=∠CMN即可；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，由△CMN∽△BAM即可得到y(tǒng)與x的函數(shù)解析式，然后只需運(yùn)用配方法就可求出y的最大值；
（3）由點(diǎn)M在BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)M與點(diǎn)B、C不重合），可得0＜x＜b，要滿(mǎn)足條件①，應(yīng)保證當(dāng)0＜x＜b時(shí)，y≤a恒成立，要滿(mǎn)足條件②，需存在一個(gè)x，使得y=a，綜合條件①和②，當(dāng)0＜x＜b時(shí)y最大值應(yīng)為a，然后結(jié)合（2）中的結(jié)論，就可解決問(wèn)題．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的最值的相關(guān)知識(shí)，掌握如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a，以及對(duì)矩形的性質(zhì)的理解，了解矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線(xiàn)相等．