Question

【題目】（問題探究）

(1)如圖①，點E是正△ABC高AD上的一定點,請在AB上找一點F，使EF=AE，并說明理由；

(2)如圖②，點M是邊長為2的正△ABC高AD上的一動點，求AM+MC的最小值；

（問題解決）

(3)如圖③，A、B兩地相距600km,AC是筆直地沿東西方向向兩邊延伸的一條鐵路，點B到AC的最短距離為360km．今計劃在鐵路線AC上修一個中轉(zhuǎn)站M，再在BM間修一條筆直的公路。如果同樣的物資在每千米公路上的運費是鐵路上的兩倍。那么，為使通過鐵路由A到M再通過公路由M到B的總運費達到最小值，請確定中轉(zhuǎn)站M的位置,并求出AM的長．(結(jié)果保留根號)

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）AM=(480)km．

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAD=30°，得出EF=AE；
（2）根據(jù)題意得出C，M，N在一條直線上時，此時AM+MC最小，進而求出即可；
（3）作BD⊥AC，垂足為點D，在AC異于點B的一側(cè)作∠CAN=30°，作BF⊥AN，垂足為點F，交AC于點M，點M即為所求，在Rt△ABD中，求出AD的長，在Rt△MBD中，得出MD的長，即可得出答案．

解：(1)如圖①，作EF⊥AB，垂足為點F，點F即為所求。

理由如下：∵點E是正△ABC高AD上的一定點，

∴∠BAD=30，

∵EF⊥AB，

∴EF=AE；

(2)如圖②,作CN⊥AB,垂足為點N,交AD于點M,此時AM+MC最小，最小為CN的長。

∵△ABC是邊長為2的正△ABC，

∴CN=BCsin60=2×=

∴MN+CM=12AM+MC=

即AM+MC的最小值為

(3)如圖③,作BD⊥AC,垂足為點D,在AC異于點B的一側(cè)作∠CAN=30

作BF⊥AN，垂足為點F，交AC于點M，點M即為所求。

在Rt△ABD中,AD=(km)

在Rt△MBD中,∠MBD=∠MAF=30,得MD=BDtan30=(km)，

所以AM=(480)km．