Question

（本題滿分12分）如圖，AB是⊙O的直徑，過點A作⊙O的切線并在其上取一點C，連接OC交⊙O于點D．

（1）如圖1，連接BD并延長BD交AC于點E，連接AD．

①證明：△CDE∽△CAD；

②若AB＝2，AC＝2．求CD和CE的長；

（2）如圖2，過點C作⊙O的另一條切線，切點為F，連結AF、BF，若OC＝BF，求的值．

Answer 1

（1）①見解析；②CD=2；CE=

（2）

【解析】

試題分析：（1）①因為兩個三角形有一公共角，所以只需要再證明一個角對應相等即可，根據條件AC是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，利用互余的關系可證∠CAD=∠CDE;②在Rt△AOC中，由勾股定理可求OC=3，由△CDE∽△CAD，可得出CE=；（2）設圓的半徑為r，由△ABF∽△COA，得，在Rt△COA中，由勾股定理可得CA=，從而可得．

試題解析：（1）①證明：因為AC是⊙O的切線，所以∠1+∠BAD=90°，又因為AB是⊙O的直徑，所以∠B+∠BAD=90°，所以∠1=∠B, 又OB=OD,所以∠2=∠B，又∠2=∠3，所以∠3=∠B,所以∠1=∠3，又∠C=∠C，所以△CDE∽△CAD；

②在Rt△AOC中，OC=,所以CD=OC-OD=3-1=2，又△CDE∽△CAD，所以,所以,CE= ;（2）設圓的半徑為r，由△ABF∽△COA，，所以,所以，又OC=BF,AB=2r,OA=r,所以，所以，OC=3r，在Rt△COA中，由勾股定理可得CA= ，所以．

考點：1．切線的性質；2． 勾股定理；3．相似三角形的判定與性質．