Question

【題目】如圖①，在半徑為6的扇形AOB中，，點(diǎn)C是弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），、，垂足分別為D、E．

（1）①當(dāng)時(shí)，線段 ；

②當(dāng)的度數(shù)= °時(shí)，四邊形成為菱形；

（2）試說明：四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上；

（3）如圖②，過點(diǎn)作，垂足為，連接，隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，在△中是否存在保持不變的角？如果存在，請(qǐng)指出這個(gè)角并求出它的度數(shù)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；

（4）在（3）條件下，若點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為 ．

Answer 1

【答案】（1）①；②60；（2）證明見詳解；（3）存在，；（4）3

【解析】

（1）①根據(jù)勾股定理即可求得線段；②點(diǎn)C為中點(diǎn)，即=60°時(shí)，得△OBC，△OAC為等邊三角形，可得四邊形成為菱形；

（2）取中點(diǎn)，連接，，根據(jù)直角三角形斜邊上的直線等于斜邊的一半，證得，問題得證；

（3）先求得∠EOD=60°，根據(jù)（2）的結(jié)論，進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化，證明∠EOF=∠AOD，進(jìn)而求得；

（4）根據(jù)不變，確定的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條線段，當(dāng)點(diǎn)C與A、B重合時(shí)，OF最小，當(dāng)C位于的中點(diǎn)時(shí)，OF最長(zhǎng)，分別求出OF長(zhǎng)，計(jì)算可得．

解：（1）①∵OB=OC, ，

∴BE=，

∴在Rt△OBE中，OE=；

故答案為：；

②當(dāng)∠BOC=60°時(shí)，∠AOC=60°，△OBC，△OAC為等邊三角形，

∴OA=AC=OC=BC=OB，

∴四邊形成為菱形；

故答案為：60；

（2）取中點(diǎn)，連接，

∵，∴，

∴

∴以為圓心，為半徑的圓過三點(diǎn)

即四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上

（3）答：不變，；

證明：∵OB=OC=OA, 、，

∴∠COE=∠BOE=,∠COD=∠AOD=，

∴∠EOD=∠COE+∠COD=，

∵四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上，

∴，

∴∠OED=∠OCD，

∵OF⊥DE，OD⊥OC，

∴∠OEF+∠EOF=90°， ∠OCD+∠COD=90°，

∴∠EOF=∠COD，

∵∠COD=∠AOD，

∴∠EOF=∠AOD，

∴；

（4）由（3）得，，∴點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡在∠AOB的平分線上，

如圖1，當(dāng)點(diǎn)C與A重合時(shí)，F與E重合，∠OAB=30°，OF⊥AB，

∴OF=；

如圖2，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，∠AOD=∠DOC=30°，

OD=OA·cos∠AOD=，

OF= OD·cos∠FOD=；

∴；

當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，也運(yùn)動(dòng)了，

∴在（3）條件下，若點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為3．