Question

如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點.

（1）請求出拋物線頂點的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示），兩點的坐標(biāo)；

（2）經(jīng)探究可知，與的面積比不變，試求出這個比值；

（3）是否存在使為直角三角形的拋物線？若存在，請求出；如果不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

 

【解析】

試題分析：（1）將拋物線的解析式化為頂點坐標(biāo)式，即可得到頂點M的坐標(biāo)；拋物線的解析式中，令y=0，可求得A、B的坐標(biāo)．

（2）易求得C點坐標(biāo)，即可得到OC的長，以AB為底，OC為高，即可求出△ABC的面積；△BCM的面積無法直接求得，可用割補法求解，過M作MD⊥x軸于D，根據(jù)B、C、M四點坐標(biāo)，可分別求出梯形OCMD、△BDM的面積，它們的面積和減去△BOC的面積即為△BCM的面積，進(jìn)而可得到△ABC、△BCM的面積比．

（3）首先根據(jù)B、C、M的坐標(biāo)，求出BC²、BM²、CM²的值，由于△BCM中，B、C、M都有可能是直角頂點，所以要分三種情況討論：①∠BCM=90°，②∠BMC=90°，③∠MBC=90°，在上述三種不同的直角三角形中，利用勾股定理可求得m的值，進(jìn)而可確定拋物線的解析式．

（1）

拋物線頂點的坐標(biāo)為（1，m）

拋物線與軸交于兩點，

當(dāng)時，

解得

兩點的坐標(biāo)為（）、（）；

（2）當(dāng)時，，

點的坐標(biāo)為.

5分

過點作軸于點，則

=

=

=3m

（3）存在使為直角三角形的拋物線.

過點作于點，則為，

在中，

在中，

①如果是，且那么

即

解得，

存在拋物線使得是；

②如果是，且那么

即

解得，

存在拋物線，使得是；

③如果是，且，那么

即

整理得此方程無解.

以為直角的直角三角形不存在.

綜上所述，存在拋物線和

使得是.

考點：二次函數(shù)的綜合題

點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．