Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意三點(diǎn)A，B，C的“矩面積”，給出如下定義：

“水平底”a：任意兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差的最大值，“鉛垂高”h：任意兩點(diǎn)縱坐標(biāo)差的最大值，則“矩面積”S=ah．

例如：三點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），則“水平底”a=5，“鉛垂高”h=4，“矩面積”S=ah=20．

（1）已知點(diǎn)A（1，2），B（﹣3，1），P（0，t）．

①若A，B，P三點(diǎn)的“矩面積”為12，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②直接寫出A，B，P三點(diǎn)的“矩面積”的最小值．

（2）已知點(diǎn)E（4，0），F（0，2），M（m，4m），N（n， ），其中m＞0，n＞0．

①若E，F，M三點(diǎn)的“矩面積”為8，求m的取值范圍；

②直接寫出E，F，N三點(diǎn)的“矩面積”的最小值及對(duì)應(yīng)n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①點(diǎn)P 的坐標(biāo)為（0，﹣1）；②A，B，P三點(diǎn)的“矩面積”的最小值為4；

（2）①∴0＜m≤；②E，F(xiàn)，N三點(diǎn)的“矩面積”的最小值為16，此時(shí)n的取值范圍為4≤n≤8．

【解析】試題分析：（1）①首先由題意：a=4，然后分別從①當(dāng)t＞2時(shí)，h=t-1，當(dāng)t＜1時(shí)，h=2-t，去分析求解即可求得答案；
②首先根據(jù)題意得：h的最小值為：1，繼而求得A，B，P三點(diǎn)的“矩面積”的最小值．
（2）①由E，F，M三點(diǎn)的“矩面積”的最小值為8，可得a=4，h=2，即可得，繼而求得m的取值范圍；

②分別從當(dāng)n≤4時(shí)，a=4，h=，當(dāng)4＜n＜8時(shí)，a=n，h=，，當(dāng)n≥8時(shí)，a=n，h=2，去分析求解即可求得答案；

試題解析：

解：（1）由題意：a=4．

①當(dāng)t＞2時(shí)，h=t﹣1，

則4（t﹣1）=12，可得t=4，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4）；

當(dāng)t＜1時(shí)，h=2﹣t，

則4（2﹣t）=12，可得t=﹣1，故點(diǎn)P 的坐標(biāo)為（0，﹣1）；

②∵根據(jù)題意得：h的最小值為：1，

∴A，B，P三點(diǎn)的“矩面積”的最小值為4；

（2）①∵E，F，M三點(diǎn)的“矩面積”為8，

∴a=4，h=2，

∴．

∴0≤m≤．

∵m＞0，

∴0＜m≤；

②∵當(dāng)n≤4時(shí)，a=4，h=，此時(shí)S=ah=，

∴當(dāng)n=4時(shí)，取最小值，S=16；

當(dāng)4＜n＜8時(shí)，a=n，h=，此時(shí)S=ah=16；

當(dāng)n≥8時(shí)，a=n，h=2，此時(shí)S=ah=2n，

∴當(dāng)n=8時(shí)，取最小值，S=16；

∴E，F，N三點(diǎn)的“矩面積”的最小值為16，此時(shí)n的取值范圍為4≤n≤8．