Question

正方形ABCD，EFGH邊長分別是和，它們的中心O，D在直線l上，AD∥l，EG在直線l上l與DC相交于點(diǎn)M，ME=7-2，當(dāng)正方形EFGH沿直線l以每秒1個(gè)單位的速度向左平移時(shí)，正方形ABCD也繞Q₁以每秒45°順時(shí)針方向開始旋轉(zhuǎn)，在運(yùn)動(dòng)變化過程中，它們的形狀和大小都不改變．
（1）求開始運(yùn)動(dòng)前Q₁Q₂的長度；
（2）當(dāng)兩個(gè)正方形按照各自的運(yùn)動(dòng)方式同時(shí)運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)，正方形ABCD停止旋轉(zhuǎn)，求此時(shí)AE和Q₁Q₂的長度；
（3）兩個(gè)正方形經(jīng)歷（2）的運(yùn)動(dòng)后，正方形ABCD停止旋轉(zhuǎn)，正方形EFGH繼續(xù)向左平移的時(shí)間為x秒，兩正方形重疊部分的面積為y，求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

解：（1）∵正方形ABCD與正方形EFGH邊長分別是4和2，它們的中心O，
∴O₁M=AD=×4=2，EG=EH=4，
∴EO₂=EG=2，
∵M(jìn)E=7-2，
∴Q₁Q₂=O₁M+ME+EO₂=2+7-2+2=9；

（2）∵正方形EFGH沿直線l以每秒1個(gè)單位的速度向左平移時(shí)，正方形ABCD也繞Q₁以每秒45°順時(shí)針方向開始旋轉(zhuǎn)，
∴當(dāng)兩個(gè)正方形按照各自的運(yùn)動(dòng)方式同時(shí)運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)，如圖：
∴Q₁Q₂=9-3=6，
∵AC=AD=8，
∵O₁A=AC=×8=4，
∴AE=Q₁Q₂-O₁A-O₂E=6-4-2=0；

（3）當(dāng)正方形ABCD停止運(yùn)動(dòng)后，正方形EFGH繼續(xù)向左平移時(shí)，與正方形ABCD重疊部分的形狀也是正方形．
重疊部分的面積y與x之間的函數(shù)關(guān)系應(yīng)分四種情況：
①如圖1，當(dāng)0≤x＜4時(shí)，
∵EA=x，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=．
②如圖2，當(dāng)4≤x＜8時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=（2 ）²=8．

③如圖3，當(dāng)8≤x＜12時(shí)，
∵CG=12-x，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y==x²-12x+72．
④當(dāng)x≥12時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=0．
分析：（1）開始運(yùn)動(dòng)前Q₁O₂=O₁M+ME+O₂E，O₁M=AD=2 ，O₂E=EH=2，即可求得O₁O₂的值．
（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)3秒后，A在直線l上，O₁A=AD=4，O₁E=7-3=4，因此O₁E=O₁A，A、E重合，即AE=0．O₁O₂=O₁A+O₂E=4+2=6．
（3）本題要分四種情況：
①當(dāng)0≤x＜4時(shí)，圖1，重合的小正方形對(duì)角線AE=x，因此y=x²．
②當(dāng)4≤x＜8時(shí)，圖2，正方形EFGH在正方形ABCD內(nèi)部，重合部分的面積就是正方形EFGH的面積．
③當(dāng)8≤x＜12時(shí)，圖3，參照①的解法．
④當(dāng)x≥12時(shí)，此時(shí)兩正方形不重合，因此y=0．
點(diǎn)評(píng)：本題為運(yùn)動(dòng)性問題，考查了正方形的性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)．綜合性強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意分類討論思想與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．