Question

已知關于x的方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0．
（1）若這個方程有實數(shù)根，求k的取值范圍；
（2）若以方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0的兩個根為橫坐標、縱坐標的點恰在反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象上，求滿足條件的m的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)△的意義得到4（k-3）²-4（k²-4k-1）≥0，然后解不等式得到k≤5；
（2）設方程的兩根分別為x₁、x₂，根據(jù)根與系數(shù)的關系得到x₁•x₂=k²-4k-1，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點得m=x₁•x₂=k²-4k-1，配方得到m=（k-2）²-5，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到（k-2）²-5≥0，于是m的最小值為-5．

解答：解：（1）根據(jù)題意得4（k-3）²-4（k²-4k-1）≥0，解得k≤5，
所以k的取值范圍為k≤5；
（2）設方程的兩根分別為x₁、x₂，
則x₁•x₂=k²-4k-1，
∵方程兩個根為橫坐標、縱坐標的點恰在反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象上，
∴m=x₁•x₂=k²-4k-1=（k-2）²-5，
∵（k-2）²≥0，
∴（k-2）²-5≥-5，
即m的最小值為-5．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關系以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點．