Question

【題目】如圖1，在中，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，連接.

（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)

圖1中，線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系為_____________；

（2）類(lèi)比探究

將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，.試問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由；

（3）問(wèn)題解決

若，將繞點(diǎn)在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）結(jié)論成立，證明詳見(jiàn)解析；（3）的最大值為4.

【解析】

（1）如圖1，取的中點(diǎn)P，連接，，先根據(jù)三角形中位線定理得，，，進(jìn)一步即得，再證明為等腰直角三角形，即可得到與之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）類(lèi)似（1）的證法，取的中點(diǎn)，連接，，如圖2，先根據(jù)兩邊成比例且?jiàn)A角相等證明∽，從而得出，；再結(jié)合三角形中位線定理和平行線的性質(zhì)得出∠NPM=45°，，進(jìn)而可得為等腰直角三角形，問(wèn)題即得解決；

（3）如圖3，由題意可知點(diǎn)在以為圓心、為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，顯然當(dāng)C、A、E三點(diǎn)共線且C、E在點(diǎn)A的兩側(cè)時(shí)CE最大，求出CE的最大值后，由（2）的結(jié)論即得MN的最大值.

解：（1）關(guān)系為：.

證明：如圖1，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，.

∵點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，

∴由三角形中位線定理可得，，

且.

由已知可得，所以.

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).

則△PNH是等腰直角三角形，∴HP=HN=PN，

又∵，

∴.

所以為等腰直角三角形，.

所以.

（2）結(jié)論仍然成立.

理由如下：如圖2，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，.

∵和均為等腰直角三角形，

∴，，，

∴，.

∴∽.

∴，.

∵，分別為和的中位線，

∴，且，.

∴，.

∴

=，且.

由（1）的證明知為等腰直角三角形.

∴. ∴.

（3）的最大值為4.

如圖3，點(diǎn)在以為圓心、為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)C、A、E三點(diǎn)共線且C、E在點(diǎn)A的兩側(cè)時(shí)CE最大，∵，∴AE=3，所以的最大值=5+3=8.

所以的最大值為4.