Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，過C點(diǎn)的切線CE垂直于弦AD于點(diǎn)E，連OD交AC于點(diǎn)F．
（1）求證：∠BAC=∠DAC；
（2）若AF：FC=6：5，求sin∠BAC的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結(jié)OC，如圖1，

∵CD為切線，

∴OC⊥CD，

∵AD⊥CD

∴OC∥AD，

∴∠CAD=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠BAC=∠ACO，

∴∠BAC=∠DAC

（2）如圖2，

作OG⊥AD于G，CH⊥AB于H，連接OC，

由（1）知，OC∥AD，

∴△AFD∽△CFO，

∴

∵AF：FC=6：5，

∴

設(shè)AD=6x，OC=OD=OA=5x，則OG=CH=4x，

在Rt△OCH中，OC=5x，CH=4x，

∴OH=3x，

∴AH=OA+OH=8x；

在Rt△ACH中，AC= =4 x

Sin∠BAC= =

【解析】（1）連結(jié)OC，如圖1，先利用切線的性質(zhì)得到OC⊥CD，再判斷OC∥AD得到∠CAD=∠ACO，而∠BAC=∠ACO，即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)OC∥AD，得出△AFD∽△CFO即可求出 然后設(shè)出AD=6x，OC=5x，再用勾股定理表示出CH，AH，進(jìn)而得出AC即可求出結(jié)論；
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用切線的性質(zhì)定理和解直角三角形的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．