Question

（2013•�？悼h二模）如圖，在⊙O中，AB為直徑，弦CD⊥直徑AB于點(diǎn)M．
（1）若CE為∠ACB的平分線(xiàn)，交⊙O于點(diǎn)E，求∠ABE的度數(shù)．
（2）若AM=18，BM=8．求弦CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓周角定理討論得到∠ACB=90°，由CE為∠ACB的平分線(xiàn)，則∠ACE=

1

2

∠ACB=45°，然后根據(jù)圓周角定理得到∠ABE=∠ACE=45°；
（2）由CD⊥AB，根據(jù)垂徑定理得到CM=DM，∠AMC=∠BMC=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠A=∠BCM，根據(jù)相似的判定方法得到Rt△ACM∽R(shí)t△CBM，利用相似比得到CM²=AB•BM，可計(jì)算出CM=12，所以CD=2CM=24．

解答：解：（1）∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CE為∠ACB的平分線(xiàn)，
∴∠ACE=

1

2

∠ACB=45°，
∴∠ABE=∠ACE=45°；

（2）∵CD⊥AB，
∴CM=DM，∠AMC=∠BMC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ACM=∠ACM+∠BCM=90°，
∴∠A=∠BCM，
∴Rt△ACM∽R(shí)t△CBM，
∴

AM

CM

=

CM

BM

，即CM²=AB•BM，
∵AM=18，BM=8，
∴CM²=18×8，
∴CM=12，
∴CD=2CM=24．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角分別相等的兩個(gè)三角形相似；相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．也考查了垂徑定理和圓周角定理．