【題目】ABCD中,EF分別是AB、CD的中點(diǎn),AFDE相交于點(diǎn)G,CEBF相交于點(diǎn)H

(1)求證:四邊形EHFG是平行四邊形;

(2)ABCD應(yīng)滿足什么條件時(shí),四邊形EHFG是矩形?并說明理由;

(3)ABCD應(yīng)滿足什么條件時(shí),四邊形EHFG是正方形?(不要說明理由).

【答案】(1)(2)見解析;(3)AB=2AD且∠BAD=90°.

【解析】(1)通過證明兩組對(duì)邊分別平行,可得四邊形EHFG是平行四邊形;

(2)當(dāng)AB=2AD時(shí),先證明四邊形ADFE是菱形,得出AFDE,EGF=90°,從而證明平行四邊形EHFG為一個(gè)矩形;

(3)由(2)可知只要GE=GF時(shí)矩形EHFG是正方形,則可知需要AF=DE,即需要證明菱形ADEF是正方形,由此可知需要∠EAD=90°,據(jù)此即可確定□ABCD應(yīng)滿足的條件.

(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,

AECF,AB=CD,

EAB中點(diǎn),FCD中點(diǎn),

AE=CF,

∴四邊形AECF是平行四邊形,

AFCE.

同理可得DEBF,

∴四邊形FGEH是平行四邊形;

(2)AB=2AD,理由如下:連接EF,

E,F(xiàn)分別為AB,CD的中點(diǎn),且AB=CD,

AE=DF,且AEDF,

∴四邊形AEFD為平行四邊形,

AD=EF,

又∵AB=2AD,EAB中點(diǎn),則AB=2AE,

AE=AD,

∴四邊形AEFD為菱形,

AFDE,EGF=90°,

∴平行四邊形EHFG是矩形;

(3)AB=2AD且∠BAD=90°,理由如下:

由(2)可知當(dāng)AB=2AD時(shí),四邊形EHFG是矩形,四邊形AEFD是菱形,

∵∠BAD=90°,∴菱形AEFD是正方形,

AF=DE,ED=2EG,AF=2GF,

GE=GF,

∴矩形EHFG是正方形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1 若點(diǎn)A表示數(shù),A點(diǎn)向右移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度,那么終點(diǎn)B表示的數(shù)是 ,此時(shí) A,B兩點(diǎn)間的距離是________

2若點(diǎn)A表示數(shù)3,A點(diǎn)向左移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度,再向右移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度后到達(dá)點(diǎn)B,B表示的數(shù)是________;此時(shí) AB兩點(diǎn)間的距離是________

3A點(diǎn)表示的數(shù)為m,A點(diǎn)向右移動(dòng)n個(gè)單位長(zhǎng)度再向左移動(dòng)t個(gè)單位長(zhǎng)度后到達(dá)終點(diǎn)B,此時(shí)A、B兩點(diǎn)間的距離為多少?

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(3)某工廠完成一批產(chǎn)品,一車間單獨(dú)完成需30天,二車間單獨(dú)完成需20天.

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