Question

如圖，⊙O的半徑為2，弦AB的長為，以AB為直徑作⊙M，點C是優(yōu)弧上的一個動點，連結(jié)AC、BC分別交⊙M于點D、E，則線段CD的最大值為

1. A.
   
2. B.
   2
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：如圖1，連OM，OB，OA，BD．根據(jù)一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，可求出∠BOM的度數(shù)，∠C=∠BOM=60°．由“直徑所對的圓周角是直角和30度角所對的直角邊”可以求得CD=BC．當(dāng)BC取最大值時，CD最大．
解答：解：如圖：連接OM，OB，OA，BD．
則在Rt△OMB中，
∵OB=2，MB=，
∴OM=1．
∵OB=2，
∴∠OBM=30°．
∴∠MOB=60°．
連接OA．則∠AOB=120°．
∴∠C=∠AOB=60°．
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°，
∴∠CBD=30°，
∴CD=BC，
∴當(dāng)BC取最大值時，CD最大．
如圖2，當(dāng)BC是直徑時，BC最大，此時點A、D重合．即BC=4．
∴CD_最大=2．
故選B．
點評：本題綜合考查了相交兩圓的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理以及含30度角的直角三角形．根據(jù)題意推知點A與點D重合時，CD可以取得最大值是解題的難點．