Question

如圖，已知拋物線y＝－x²＋bx＋c與一直線相交于A(－1，0)，C(2，3)兩點，與y軸交于點N．其頂點為D．

(1)拋物線及直線AC的函數(shù)關系式；

(2)設點M(3，m)，求使MN＋MD的值最小時m的值；

(3)若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上的任意一點，過點E作EF∥BD交拋物線于點F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請說明理由；

(4)若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式； 　　(2)根據(jù)兩點之間線段最短作N點關于直線x＝3的對稱點，當M(3，m)在直線D上時，MN＋MD的值最��； 　　(3)需要分類討論：①當點E在線段AC上時，點F在點E上方，則F(x，x＋3)和②當點E在線段AC(或CA)延長線上時，點F在點E下方，則F(x，x－1)，然后利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可以求得點E的坐標； 　　(4)方法一：過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q；過點C作CG⊥x軸于點G，如圖1．設Q(x，x＋1)，則P(x，－x2＋2x＋3)．根據(jù)兩點間的距離公式可以求得線段PQ＝－x2＋x＋2；最后由圖示以及三角形的面積公式知S△APC＝－(x－)2＋，所以由二次函數(shù)的最值的求法可知△APC的面積的最大值； 　　方法二：過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q，交x軸于點H；過點C作CG⊥x軸于點G，如圖2．設Q(x，x＋1)，則P(x，－x2＋2x＋3)．根據(jù)圖示以及三角形的面積公式知S△APC＝S△APH＋S直角梯形PHGC－S△AGC＝－(x－)2＋，所以由二次函數(shù)的最值的求法可知△APC的面積的最大值； 　　解答：解：(1)由拋物線y＝－x2＋bx＋c過點A(－1，0)及C(2，3)得， 　　， 　　解得， 　　故拋物線為y＝－x2＋2x＋3 　　又設直線為y＝kx＋n過點A(－1，0)及C(2，3)得 　　， 　　解得 　　故直線AC為y＝x＋1； 　　(2)作N點關于直線x＝3的對稱點，則(6，3)，由(1)得D(1，4)， 　　故直線D的函數(shù)關系式為y＝－x＋， 　　當M(3，m)在直線D上時，MN＋MD的值最小， 　　則m＝－×＝； 　　(3)由(1)、(2)得D(1，4)，B(1，2) 　　∵點E在直線AC上， 　　設E(x，x＋1)， 　　①當點E在線段AC上時，點F在點E上方， 　　則F(x，x＋3)， 　　∵F在拋物線上， 　　∴x＋3＝－x2＋2x＋3， 　　解得，x＝0或x＝1(舍去) 　　∴E(0，1)； 　�、诋旤cE在線段AC(或CA)延長線上時，點F在點E下方， 　　則F(x，x－1) 　　由F在拋物線上 　　∴x－1＝－x2＋2x＋3 　　解得x＝或x＝ 　　∴E(，)或(，) 　　綜上，滿足條件的點E為E(0，1)、(，)或(，)； 　　(4)方法一：過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q；過點C作CG⊥x軸于點G，如圖1 　　設Q(x，x＋1)，則P(x，－x2＋2x＋3) 　　∴PQ＝(－x2＋2x＋3)－(x－1) 　�。剑瓁2＋x＋2 　　又∵S△APC＝S△APQ＋S△CPQ＝PQ·AG 　�。�(－x2＋x＋2)×3 　�。剑�(x－)2＋ 　　∴面積的最大值為． 　　方法二：過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q，交x軸于點H；過點C作CG⊥x軸于點G，如圖2， 　　設Q(x，x＋1)，則P(x，－x2＋2x＋3) 　　又∵S△APC＝S△APH＋S直角梯形PHGC－S△AGC＝(x＋1)(－x2＋2x＋3)＋(－x2＋2x＋3＋3)(2－x)－×3×3 　�。剑�x2＋x＋3 　　＝－(x－)2＋ 　　∴△APC的面積的最大值為． 　　點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題．解答(3)題時，要對點E所在的位置進行分類討論，以防漏解．

提示：

考點：二次函數(shù)綜合題．