Question

（2013•臺(tái)州）如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個(gè)三角形為“好玩三角形”．
（1）請(qǐng)用直尺和圓規(guī)畫一個(gè)“好玩三角形”；
（2）如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=

3

2

，求證：△ABC是“好玩三角形”；
（3）如圖2，已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC=2β，點(diǎn)P，Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，以相同速度分別沿折線AB-BC和AD-DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)P經(jīng)過的路程為s．
①當(dāng)β=45°時(shí)，若△APQ是“好玩三角形”，試求

a

s

的值；
②當(dāng)tanβ的取值在什么范圍內(nèi)，點(diǎn)P，Q在運(yùn)動(dòng)過程中，有且只有一個(gè)△APQ能成為“好玩三角形”．請(qǐng)直接寫出tanβ的取值范圍．
（4）（本小題為選做題，作對(duì)另加2分，但全卷滿分不超過150分）
依據(jù)（3）的條件，提出一個(gè)關(guān)于“在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過程中，tanβ的取值范圍與△APQ是‘好玩三角形’的個(gè)數(shù)關(guān)系”的真命題（“好玩三角形”的個(gè)數(shù)限定不能為1）

Answer 1

分析：（1）先畫一條線段AB，再確定AB的中點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，AB為半徑畫圓，在圓O上取一點(diǎn)C，連接AC、BC，則△ABC是所求作的三角形；
（2）取AC的中點(diǎn)D，連接BD，設(shè)BC=

3

x，根據(jù)條件可以求出AC=2x，由三角函數(shù)可以求出BD=2x，從而得出AC=BD，從而得出結(jié)論；
（3）①當(dāng)β=45°時(shí)，分情況討論，P點(diǎn)在AB上時(shí)，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，當(dāng)P在BC上時(shí)，延長AB交QP的延長線于點(diǎn)F，可以求出分情況討論，就可以求出

AE

PE

=

s

2a-s

，再分情況討論就可以求出當(dāng)AE=PQ時(shí)，

a

s

的值，當(dāng)AP=QM時(shí)，可以求出

a

s

的值；
②根據(jù)①求出的兩個(gè)

AE

PE

的值就可以求出tanβ的取值范圍；
（4）由（3）可以得出0＜tanβ＜

15

3

，△APQ為“好玩三角形”的個(gè)數(shù)為2就是真命題．

解答：解：（1）如圖1，①作一條線段AB，
②作線段AB的中點(diǎn)O，
③以點(diǎn)O為圓心，AB為半徑畫圓，
④在圓O上取一點(diǎn)C，連接AC、BC，
∴△ABC是所求作的三角形．

（2）如圖2，取AC的中點(diǎn)D，連接BD
∵∠C=90°，tanA=

3

2

，
∴

BC

AC

=

3

2

∴設(shè)BC=

3

x，則AC=2x，
∵D是AC的中點(diǎn)，
∴CD=

1

2

AC=x
∴BD=

CD2+BC2

=

3x2+x2

=2x，
∴AC=BD
∴△ABC是“好玩三角形”；

（3）①如圖3，當(dāng)β=45°，點(diǎn)P在AB上時(shí)，
∴∠ABC=2β=90°，
∴△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，
當(dāng)P在BC上時(shí)，連接AC交PQ于點(diǎn)E，延長AB交QP的延長線于點(diǎn)F，
∵PC=CQ，
∴∠CAB=∠ACP，∠AEF=∠CEP，
∴△AEF∽△CEP，
∴

AE

CE

=

AF

PC

=

AB+BP

PC

=

s

2a-s

．
∵PE=CE，
∴

AE

PE

=

s

2a-s

．
Ⅰ當(dāng)?shù)走匬Q與它的中線AE相等時(shí)，即AE=PQ時(shí)，

AE

PE

=

s

2a-s

=2，
∴

a

s

=

3

4

，
Ⅱ當(dāng)腰AP與它的中線QM相等，即AP=QM時(shí)，
作QN⊥AP于N，如圖4
∴MN=AN=

1

2

MP．
∴QN=

15

MN，
∴tan∠APQ=

QN

PN

=

15 MN

3MN

=

15

3

，
∴tan∠APE=

AE

PE

=

s

2a-s

=

15

3

，
∴

a

s

=

15

10

+

1

2

②由①可知，當(dāng)AE=PQ和AP=QM時(shí)，有且只有一個(gè)△APQ能成為“好玩三角形”，
∴

15

3

＜tanβ＜2時(shí)，有且只有一個(gè)△APQ能成為“好玩三角形”．

（4）由（3）可以知道0＜tanβ＜

15

3

，
則在P、Q的運(yùn)動(dòng)過程中，使得△APQ成為“好玩三角形”的個(gè)數(shù)為2．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道相似形綜合運(yùn)用的試題，考查了相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，銳角三角形函數(shù)值的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用三角函數(shù)值建立方程求解是解答的關(guān)鍵．