如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=,BC=3,△DEF是邊長為a(a為小于3的常數(shù))的等邊三角形,將△DEF沿AC方向平移,使點D在線段AC上,DE∥AB,設(shè)△DEF與△ABC重疊部分的周長為T.
(1)求證:點E到AC的距離為一個常數(shù);
(2)若AD=,當(dāng)a=2時,求T的值;
(3)若點D運動到AC的中點處,請用含a的代數(shù)式表示T.

【答案】分析:(1)解直角三角形,求得點E到AC的距離等于a,這是一個定值;
(2)如答圖2所示,作輔助線,將四邊形MDEN分成一個等邊三角形和一個平行四邊形,求出其周長;
(3)可能存在三種情形,需要分類討論:
①若0<a≤,△DEF在△ABC內(nèi)部,如答圖3所示;
②若<a≤,點E在△ABC內(nèi)部,點F在△ABC外部,在如答圖4所示;
③若<a<3,點E、F均在△ABC外部,如答圖5所示.
解答:解:(1)由題意得:tanA===,
∴∠A=60°.
∵DE∥AB,
∴∠CDE=∠A=60°.
如答圖1所示,過點E作EH⊥AC于點H,

則EH=DE•sin∠CDE=a•=a.
∴點E到AC的距離為一個常數(shù).

(2)若AD=,當(dāng)a=2時,如答圖2所示.

設(shè)AB與DF、EF分別交于點M、N.
∵△DEF為等邊三角形,∴∠MDE=60°,
由(1)知∠CDE=60°,
∴∠ADM=180°-∠MDE-∠CDE=60°,
又∵∠A=60°,
∴△ADM為等邊三角形,
∴DM=AD=
過點M作MG∥AC,交DE于點G,則∠DMG=∠ADM=60°,
∴△DMG為等邊三角形,
∴DG=MG=DM=
∴GE=DE-DG=2-=
∵∠MGD=∠E=60°,∴MG∥NE,
又∵DE∥AB,
∴四邊形MGEN為平行四邊形.
∴NE=MG=,MN=GE=
∴T=DE+DM+MN+NE=2+++=

(3)若點D運動到AC的中點處,分情況討論如下:
①若0<a≤,△DEF在△ABC內(nèi)部,如答圖3所示:

∴T=3a;
②若<a≤,點E在△ABC內(nèi)部,點F在△ABC外部,在如答圖4所示:

設(shè)AB與DF、EF分別交于點M、N,過點M作MG∥AC交DE于點G.
與(2)同理,可知△ADM、△DMG均為等邊三角形,四邊形MGEN為平行四邊形.
∴DM=DG=NE=AD=,MN=GE=DE-DG=a-,
∴T=DE+DM+MN+NE=a++(a-)+=2a+;
③若<a<3,點E、F均在△ABC外部,如答圖5所示:

設(shè)AB與DF、EF分別交于點M、N,BC與DE、EF分別交于點P、Q.
在Rt△PCD中,CD=,∠CDP=60°,∠DPC=30°,
∴PC=CD•tan60°=×=
∵∠EPQ=∠DPC=30°,∠E=60°,∴∠PQE=90°.
由(1)知,點E到AC的距離為a,∴PQ=a-
∴QE=PQ•tan30°=(a-)×=a-,PE=2QE=a-
由②可知,四邊形MDEN的周長為2a+
∴T=四邊形MDEN的周長-PE-QE+PQ=(2a+)-(a-)-(a-)+(a-)=a+-
綜上所述,若點D運動到AC的中點處,T的關(guān)系式為:
T=
點評:本題考查了運動型綜合題,新穎之處在于所求是重疊部分的周長而非面積.難點在于第(3)問,根據(jù)題意,可能的情形有三種,需要分類討論,避免漏解.
練習(xí)冊系列答案
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(2013•莆田質(zhì)檢)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線AD交BC于點D,點E是AB上一點,以AE為直徑的⊙O過點D,且交AC于點F.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若CD=6,AC=8,求AE.

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如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,AD和BD分別是∠BAC和∠ABC的平分線,它們相交于點D,求點D到BC的距離.

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如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,將三角板中一個30°角的頂點D放在AB邊上移動,使這個30°角的兩邊分別與△ABC的邊AC、BC相交于點E、F,且使DE始終與AB垂直.
(1)畫出符合條件的圖形.連接EF后,寫出與△ABC一定相似的三角形;
(2)設(shè)AD=x,CF=y.求y與x之間函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域;
(3)如果△CEF與△DEF相似,求AD的長.

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如圖,在Rt△ABC中,BD⊥AC,sinA=
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5
,則cos∠CBD的值是( 。

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如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8cm,BC=4cm,D、E分別為邊AB、BC的中點,連接DE,點P從點A出發(fā),沿折線AD-DE-EB運動,到點B停止.點P在AD上以
5
cm/s的速度運動,在折線DE-EB上以1cm/s的速度運動.當(dāng)點P與點A不重合時,過點P作PQ⊥AC于點Q,以PQ為邊作正方形PQMN,使點M落在線段AC上.設(shè)點P的運動時間為t(s).
(1)當(dāng)點P在線段DE上運動時,線段DP的長為
(t-2)
(t-2)
cm,(用含t的代數(shù)式表示).
(2)當(dāng)點N落在AB邊上時,求t的值.
(3)當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時,設(shè)五邊形的面積為S(cm2),求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

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