設ab≠0,且函數f1(x)=x2+2ax+4b與f2(x)=x2+4ax+2b有相同的最小值u;函數f3(x)=-x2+2bx+4a與f4(x)=-x2+4bx+2a有相同的最大值v;則u+v的值( )
A.必為正數
B.必為負數
C.必為0
D.符號不能確定
【答案】
分析:本題給出四個函數的解析式及兩條重要信息f
1(x)與f
2(x)有相同的最小值u;f
3(x)與f
4(x)有相同的最大值v,將函數化為頂點式,再根據條件列出等式即可求解此題.
解答:解:∵f
1(x)=x
2+2ax+4b=(x+a)
2+4b-a
2≥4b-a
2,
f
2(x)=x
2+4ax+2b=(x+2a)
2+2b-4a
2≥2b-4a
2,
已知4b-a
2=u=2b-4a
2,得-2b=3a
2①
∵ab≠0,
∴b<0,
又∵f
3(x)=-(x-b)
2+4a+b
2≤4a+b
2,
f
4(x)=-(x-2b)
2+2a+4b
2≤2a+4b
2;
已知4a+b
2=v=2a+4b
2,得2a=3b
2,②
∵ab≠0,
∴a>0,
∴3a-3b+2>0,
∴②-①得,2(a+b)=3(b
2-a
2),
解得a+b=0或
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131103195629520249122/SYS201311031956295202491002_DA/0.png)
(舍去),
當a+b=0時,2(u+v)=(6b-5a
2)+(6a+5b
2)=(a+b)[6+5(b-a)]=0,
∴u+v=0,
故選C.
點評:本題考查了二次函數的最值,難度較大,做題時關鍵是將函數的標準形式化為頂點形式.