Question

已知關于x的方程x²+（k-5）x+9=0在1＜x＜2內(nèi)有一實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：關于x的方程x²+（k-5）x+9=0在1＜x＜2內(nèi)有一實數(shù)根，即y=x²+（k-5）x+9與x軸在1＜x＜2內(nèi)有一交點．可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)列不等式組解答．
解答：解：關于x的方程x²+（k-5）x+9=0在1＜x＜2內(nèi)有一實數(shù)根，
即y=x²+（k-5）x+9與x軸在1＜x＜2內(nèi)有一交點，故有以下三種情況：
（1），
由①得，k²-10k-11=0，
解得k₁=-1，k₂=11；
由②得，k＞-5；
由③得，k＞-；
故實數(shù)k的取值范圍為k₁=-1，k₂=11；
（2），
由①得，k²-10k-11＞0，即（k+1）（k-2）＞0，
解得；或．
由②得，k＞-5；
由③得，k＜-；
故實數(shù)k的取值范圍為-5＜k＜-；
（3），
由①得，k²-10k-11＞0，即（k+1）（k-2）＞0，
解得；或．
由②得，k＜-5；
由③得，k＞-；
由②③可知，不等式組無解．
點評：此題考查了二次函數(shù)與x軸的交點與根的判別式的關系，利用根的判別式、交點所對應的函數(shù)值列出不等式組是解題的關鍵，解答時要進行分類討論．