Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸DP交x軸于Q點(diǎn)，已知P（1，-2），且線段AB=4，tan∠ODP=．
（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）求拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的解析式．
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)M（D點(diǎn)除外），使S_△DOP=S_△MOP？若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)即可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)頂點(diǎn)式，由待定系數(shù)法求出拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的解析式．
（3）過(guò)D點(diǎn)作ED∥PO交y軸于E點(diǎn)，過(guò)E作EN⊥PO于N．過(guò)M點(diǎn)作直線與PO平行交y軸于F點(diǎn)，使其與PO之間的距離為．根據(jù)S_△DOP=S_△MOP列出方程組求解即可．
解答：解：（1）依條件得：，∴DQ=4（1分）
∴D（1，4）（3分）

（2）∵AB=4，∴BQ=2，OB=1∴B（-1，0）
依題意可設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²+4（4分）
把B（-1，0）代入y=a（x-1）²+4得a=-1，（5分）
∴拋物線解析式為y=-（x-1）²+4（6分）

（3）過(guò)D點(diǎn)作ED∥PO交y軸于E點(diǎn)，過(guò)E作EN⊥PO于N．
∵，∴
又Rt△ENO∽R(shí)t△PHO
∴，
∴OE=6
又直線y_OP=-2x（7分）
過(guò)M點(diǎn)作直線與PO平行交y軸于F點(diǎn)，使其與PO之間的距離為．
此時(shí)S_△DOP=S_△MOP．∴y_ED=-2x+6，y_FQ=-2x-6．
∴或
解得：，，，
∵M(jìn)與D不重合
∴存在M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三角函數(shù)、拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，有一定的難度．