【題目】ABC中,AB=AC,點EAC的中點,線段AEA為中心順時針旋轉,點E落在線段BE上的D處,線段CEC為中心順時針旋轉,點E落在BE的延長線上的點F處,連接AF,CD.

1)求證:四邊形ADCF是平行四邊形;

2)當BD=CD時,探究線段AB,BC,BF三者之間的等量關系,并證明;

3)在(2)的條件下,若DE=1,試求BC的值.

【答案】1)見解析;(2,理由見解析;(3

【解析】

1)因為已知條件為AE=CE,只需證明DE=EF,根據(jù)等腰三角形的性質得到△AED≌△CEF所需條件;

2)根據(jù)題中條件可得AGBC,進一步證明△BFC為直角三角形,利用勾股定理和等量代換可探究出線段之間的關系;

3)根據(jù)中位線定理可得DGCF的一半,利用(2)的結論,列方程求解.

解:(1)由旋轉可得,AD=AE,CE=CF,

∴∠ADE=AED, CEF=CFE,

∵∠AED=CEF,

∴∠ADE=CFE,

EAC的中點,

AE=CE,

∴△AED≌△CEF,

DE=EF,

∴四邊形ADCF是平行四邊形;

2)延長ADBCG,

AB=AC,BD=CD,

AGBC的垂直平分線,

AGBC,

∴∠AGB=90°

∵四邊形ADCF是平行四邊形,

ADFC,AD=FC,

∴∠AGB=FCB=90°,

BF2=BC2+FC2

CF=CE=

,

;

3)如圖,∵AB=AC,AGBC,

BG=CG,

DGFC,

BD=DF,

DG是三角形△BCF的中位線,BF=4,

DG ,

CF=x,AD=x,DG= ,AB=AC=2x,

AG= ,

由勾股定理得,CG= ,

BC=,

,

,

x=x=(不符合題意,舍去),

BC=.

練習冊系列答案
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,BD是對角線,∠ADB=90°,E、F分別為邊AB、CD的中點.

(1)求證:四邊形DEBF是菱形;

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【題目】如圖,DEABE,DFACF,若BDCD,BECF

1)求證:AD平分∠BAC

2)寫出AB+ACAE之間的等量關系,并說明理由.

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(1)求k的值;

(2)用含m的代數(shù)式表示CD的長;

(3)求Sm之間的函數(shù)關系式.

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