Question

【題目】如圖1，直線(xiàn)l⊥AB于點(diǎn)B，點(diǎn)C在AB上，且AC：CB=2：1，點(diǎn)M是直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)CM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′，直線(xiàn)AB′與直線(xiàn)CM相交于點(diǎn)P，連接PB．

（1）如圖2，若點(diǎn)P與點(diǎn)M重合，則∠PAB= ， 線(xiàn)段PA與PB的比值為

（2）如圖3，若點(diǎn)P與點(diǎn)M不重合，設(shè)過(guò)P，B，C三點(diǎn)的圓與直線(xiàn)AP相交于D，連接CD，求證：①CD=CB′；②PA=2PB

（3）如圖4，若AC=2，BC=1，則滿(mǎn)足條件PA=2PB的點(diǎn)都在一個(gè)確定的圓上，在以下小題中選做一題：
①如果你能發(fā)現(xiàn)這個(gè)確定的圓的圓心和半徑，那么不必寫(xiě)出發(fā)現(xiàn)過(guò)程，只要證明這個(gè)圓上的任意一點(diǎn)Q，都滿(mǎn)足QA=2QB；
②如果你不能發(fā)現(xiàn)這個(gè)確定的圓的圓心和半徑，那么請(qǐng)取出幾個(gè)特殊位置的P點(diǎn)，如點(diǎn)P在直線(xiàn)AB上，點(diǎn)P與點(diǎn)M重合等進(jìn)行探究，求這個(gè)圓的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）30°；2
（2）

證明：①∵B關(guān)于直線(xiàn)CM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)B′，

∴△PBC沿PC翻折得到△PB′C，

∴∠PB′C=∠PBC，

∵∠CDB′=∠CBP，

∴∠CDB′=∠CB′D，

∴CD=CB′；

②作B′E∥PC交AC于E，連結(jié)BB′交PC于F，如圖3，

∵B關(guān)于直線(xiàn)CM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)B′，

∴FB=FB′，PB=PB′，

而CF∥B′E，

∴BC=CE，

∵AC=2BC，

∴AE=EC，

而B(niǎo)′E∥PC，

∴AB′=PB′，

∴PA=2PB′=2PB

（3）

解：選①．

證明：作B′E∥QC交AC于E，連結(jié)BB′交QC于F，如圖4，

∵B關(guān)于直線(xiàn)CM的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)B′，

∴FB=FB′，QB=QB′，

而CF∥B′E，

∴BC=CE，

∵AC=2BC，

∴AE=EC，

而B(niǎo)′E∥QC，

∴AB′=QB′，

∴PA=2QB′=2QB．

【解析】（1）如圖2，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性質(zhì)得△PBC沿PC翻折得到△PB′C，根據(jù)折疊性質(zhì)得CB′=CB，∠PB′C=∠PBC=90°，由于AC：CB=2：1，則AC=2CB′，然后在Rt△AB′C中，利用正弦定義可計(jì)算出∠A=30°，再利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系易得PA=2PB；
（2）①與（1）一樣可得∠PB′C=∠PBC，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠CDB′=∠CBP，所以∠CDB′=∠CB′D，于是根據(jù)等腰三角形的判定得到CD=CB′；
②作B′E∥PC交AC于E，連結(jié)BB′交PC于F，如圖3，利用對(duì)稱(chēng)性質(zhì)得FB=FB′，PB=PB′，而CF∥B′E，則CF為△BEB′的中位線(xiàn)，所以BC=CE，加上AC=2BC，所以AE=EC，然后利用B′E∥PC，則AB′=PB′，所以PA=2PB′=2PB；
（3）選①進(jìn)行證明，作B′E∥QC交AC于E，連結(jié)BB′交QC于F，如圖4，與（2）中②的證明方法一樣．