Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)P為線段AC上一點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AB的延長線上，CP=BQ，連接PQ交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)為E，連接AE．

（1）依題意補(bǔ)全圖1；

（2）求證：D是PQ的中點(diǎn)；

（3）用等式表示AE和PQ的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3），理由見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意畫圖即可；

（2）連接EQ，過點(diǎn)D作DF⊥EQ，設(shè)PE及哦啊BC于點(diǎn)G，先證四邊形CEQB是平行四邊形，得到BC∥EQ，再求∠PEQ=90°得到四邊形EGDF是矩形，根據(jù)對(duì)稱證得DF=PE，得到DF是△PEQ的中位線，由此得到結(jié)論；

（3）設(shè)AP=a，PC=CE=b，利用勾股定理求出，，即可得到結(jié)論.

（1）如圖：

（2）連接EQ，過點(diǎn)D作DF⊥EQ，設(shè)PE交BC于點(diǎn)G，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ACB=∠ABC=45°，

∵點(diǎn)P關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)為E，

∴∠BCE=∠ACB=∠ABC=45°，PC=CE，

∴CE∥AB，

∵BQ=PC=CE，

∴四邊形CEQB是平行四邊形，

∴BC∥EQ，

∴∠CEQ=∠CBQ=180°-45°=135°，

∵∠PCE=45°+45°=90°，PC=CE，

∴∠CEP=45°，

∴∠PEQ=90°，即PE⊥EQ，

∵DF⊥EQ，

∴PE∥DF，

∴四邊形EGDF是平行四邊形，

∵∠GEF=90°，

∴四邊形EGDF是矩形，

∴DF=EG,

由對(duì)稱得PG=EG，

∴DF=PE，

∴DF是△PEQ的中位線，

∴點(diǎn)D是PQ的中點(diǎn)；

（3）；

設(shè)AP=a，PC=CE=b，

在Rt△ACE中，,

∴；

在Rt△PEQ中，，

∵， ，

∴，

∴,

∴.