如圖,△ABC是等邊三角形,點A坐標為(-8,0)、點B坐標為(8,0),點C在y軸的正半軸上.一條動直線l從y軸出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿x軸向右平移,直線l與直線交于點D,與線段BC交于點E.以DE為邊向左側作等邊△DEF,EF與y軸的交點為G.當點D與點E重合時,直線l停止運動,設直線l的運動時間為t(秒).
(1)填空:點C的坐標為______
【答案】分析:(1)首先設l與x軸交于點N,由△ABC是等邊三角形,點A坐標為(-8,0)、點B坐標為(8,0),易求得OC的長,即可求得點C的坐標,由直線l與直線y=x交于點D與△DEF是等邊三角形,可證得GE∥OD,又由l∥y軸,可得四邊形ODEG是平行四邊形;
(2)首先待定系數(shù)法求得直線BC的解析式,則可求得點D與E的坐標,即可求得DE的長,又由當OD=DE時,四邊形ODEG是菱形,可得方程-t+8=t,解此方程即可求得答案;
(3)連接DG,當∠DGE=90°時,點G恰好落在以DE為直徑的⊙M上,可得點E是EF的中點,易得當OD=DE時,點G恰好落在以DE為直徑的⊙M上,即可得方程t=×(-t+8),解此方程即可求得答案.
解答:解:(1)設l與x軸交于點N,
∵△ABC是等邊三角形,點A坐標為(-8,0)、點B坐標為(8,0),
∴OA=OB=8,∠CAB=60°,
∴OC=OA•tan∠CAB=8×=8,
∴點C的坐標為:(0,8),
∵直線l與直線y=x交于點D,
∴tan∠DON=,
∴∠DON=30°,
∵l⊥x軸,
∴∠DNO=90°,ED∥OC,
∴∠ODN=60°,
∵△DEF是等邊三角形,
∴∠FED=60°,
∴∠FED=∠ODN,
∴EF∥OD,
∴四邊形ODEG是平行四邊形;
故答案為:(0,8),平行四邊形;

(2)設直線BC的解析式為:y=kx+b,
∵B(8,0),C(0,8),
,
解得:,
∴直線BC的解析式為:y=-x+8,
∴D點坐標為(t,t),E(t,-t+8),
則DE=-t+8-t=-t+8,
由(1)知,四邊形ODEG是平行四邊形,
∴要使四邊形ODEG為菱形,則必須有OD=DE成立;
設l與x軸交于點N,
∵OD=2DN=2×t=t,
∴-t+8=t,
解得:t=4
∴當t=4秒時,四邊形ODEG為菱形;

(3)當t=0時 G.E均與C重合,D與O重合.此時,點G落在以DE為直徑的圓M上,
當t≠0時,如圖,連接DG,當∠DGE=90°時,點G恰好落在以DE為直徑的⊙M上,
∵DF=DE,
∴點G為EF的中點
∴EG=EF=DE,
由(1)知,四邊形ODEG是平行四邊形,
∴OD=EG=DE,
又由(2)知,DE=-t+8,OD=t,
t=×(-t+8),
解得:t=3,
∴當t=3秒時,點G恰好落在以DE為直徑的⊙M上,此時⊙M的半徑為:×3=2
點評:此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、等邊三角形的性質、平行四邊形的判定與性質、菱形的判定以及圓周角定理等知識.此題難度較大,注意掌握符,注意數(shù)形結合思想與方程思想的應用.
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