Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸的交點為，與軸的交點分別為，，且，直線軸，在軸上有一動點過點作平行于軸的直線與拋物線、直線的交點分別為、．

求拋物線的解析式；

當時，求面積的最大值；

當時，是否存在點，使以、、為頂點的三角形與相似？若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2)12 (3)或或

【解析】

（1）認真審題，直接根據題意列出方程組，求出B，C兩點的坐標，進而可求出拋物線的解析式；

（2）分0＜t＜6時和6＜t≤8時兩種情況進行討論，據此即可求出三角形的最大值；

（3）以點D為分界點，分2＜t≤8時和t＞8時兩種情況進行討論，再根據三角形相似的條件，即可得解．

由題意知、是方程的兩根，

∴，

由

解得：

∴、

則，

解得：，

∴該拋物線解析式為：；

可求得

設直線的解析式為：，

∵

∴

∴直線的解析式為：，

要構成，顯然，分兩種情況討論：

①當時，設直線與交點為，則：，

∵，

∴，

∴，

此時最大值為：，

②當時，設直線與交點為，則：，

∵，∴，

∴，

當時，取最大值，最大值為：，

綜上可知，當時，面積的最大值為；

如圖，連接，則中，，，，

，，

①當時，，，

若：，則：，

即：，

∴（舍），或，

若，則：，

即：，

∴（舍）或（舍），

②當時，，，

若：，則：，

即：，

∴（舍），或，

若，則：，

即：，

∴（舍）或，

∴或或．