Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，A（-1，0），B（0，2），一動(dòng)點(diǎn)P沿過(guò)B點(diǎn)且垂直于AB的射線(xiàn)BM運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，射線(xiàn)BM與x軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）求過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式．
（3）若P點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)也同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)，以P點(diǎn)相同的速度沿x軸負(fù)方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，t秒后，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．（點(diǎn)P到點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），求t的值．
（4）在（2）（3）的條件下，當(dāng)CQ=CP時(shí)，求直線(xiàn)OP與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于AB⊥BC，則△AOB∽△BOC，由于OB=2OA，則OC=2OB，由此可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）設(shè)拋物線(xiàn)方程為y=ax²+bx+c（a≠0），三點(diǎn)代入聯(lián)立方程解出a、b、c．
（3）根據(jù)P、Q的速度，可用t表示出BP、CP、CQ的長(zhǎng)，若以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，那么可分作三種情況考慮：
①CP=CQ，可聯(lián)立CP、CQ的表達(dá)式，可得到關(guān)于t的等量關(guān)系式，即可求出此時(shí)t的值；
②CQ=QP，過(guò)Q作QM⊥BC于M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)知CM=CP，可通過(guò)△CQM∽△CBO所得比例線(xiàn)段，列出關(guān)于t的等量關(guān)系式，求出此時(shí)t的值；
③CP=PQ，過(guò)P作PN⊥OC于N，方法與②相同．
（4）在（2）題中已經(jīng)求得CP=CQ時(shí)的t值，此時(shí)發(fā)現(xiàn)P是BC的中點(diǎn)，根據(jù)B、C的坐標(biāo)，即可得到P點(diǎn)的坐標(biāo)，易求得直線(xiàn)OP的解析式，聯(lián)立拋物線(xiàn)的解析式可求出它與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵A（-1，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2，OB=2OA；
∵∠ABC=90°，易得△ABO∽△BCO，
∴AO：BO=BO：OC，即OC=2OB=4，
∴C（4，0）．

（2）設(shè)拋物線(xiàn)方程為y=ax²+bx+c（a≠0），依題意有：
，
解得；
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²+x+2．

（3）∵OB=2，OC=4，
∴BC=2；
則：BP=t，CP=2-t，CQ=t；
①CP=CQ，則有：2-t=t，
解得：t=；
②CQ=QP，過(guò)Q作QM′⊥BC于M′，則有：
CM′=（2-t）；
易證△CQM′∽△CBO，
則：=，
即，
解得：t==；
③CP=PQ，過(guò)P作PN⊥OC于N，則：
CN=CQ=t；
易證△CNP∽△COB，則有：，
即，
解得t==；
綜上所述，當(dāng)t=或或時(shí)，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．

（4）由（3）知：當(dāng)CP=CQ時(shí)，BP=t==BC，即P是BC的中點(diǎn)，
∵B（0，2），C（4，0），
∴P（2，1）；
∴直線(xiàn)OP的解析式為：y=x；
聯(lián)立拋物線(xiàn)的解析式有：
，
解得，；
∴直線(xiàn)OP與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)為（1+，），（1-，）．
點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了相似三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法以及等腰三角形的構(gòu)成條件等重要知識(shí)，在等腰三角形腰和底不確定的情況下，一定要分類(lèi)討論，以免漏解．