Question

【題目】已知點(diǎn)A（﹣1，1）、B（4，6）在拋物線y=ax2+bx上
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，m）（m＞2），直線AF交拋物線于另一點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作x軸的垂線，垂足為H．設(shè)拋物線與x軸的正半軸交于點(diǎn)E，連接FH、AE，求證：FH∥AE；

（3）如圖2，直線AB分別交x軸、y軸于C、D兩點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒
個(gè)單位長(zhǎng)度；同時(shí)點(diǎn)Q從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．點(diǎn)M是直線PQ與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，QM=2PM，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：將點(diǎn)A（﹣1，1）、B（4，6）代入y=ax2+bx中，

，解得： ，

∴拋物線的解析式為y= x2﹣ x．

（2）證明：設(shè)直線AF的解析式為y=kx+m，

將點(diǎn)A（﹣1，1）代入y=kx+m中，即﹣k+m=1，

∴k=m﹣1，

∴直線AF的解析式為y=（m﹣1）x+m．

聯(lián)立直線AF和拋物線解析式成方程組，

，解得： ， ，

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2m，2m2﹣m）．

∵GH⊥x軸，

∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（2m，0）．

∵拋物線的解析式為y= x2﹣ x= x（x﹣1），

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0）．

設(shè)直線AE的解析式為y=k1x+b1，

將A（﹣1，1）、E（1，0）代入y=k1x+b1中，

，解得： ，

∴直線AE的解析式為y=﹣ x+ ．

設(shè)直線FH的解析式為y=k2x+b2，

將F（0，m）、H（2m，0）代入y=k2x+b2中，

，解得： ，

∴直線FH的解析式為y=﹣ x+m．

∴FH∥AE．

（3）設(shè)直線AB的解析式為y=k0x+b0，

將A（﹣1，1）、B（4，6）代入y=k0x+b0中，

，解得： ，

∴直線AB的解析式為y=x+2．

當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t﹣2，t），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（t，0）．

當(dāng)點(diǎn)M在線段PQ上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PP′⊥x軸于點(diǎn)P′，過(guò)點(diǎn)M作MM′⊥x軸于點(diǎn)M′，則△PQP′∽△MQM′，如圖2所示．

∵QM=2PM，

∴ = = ，

∴QM′= ，MM′= t，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t﹣ ， t）．

又∵點(diǎn)M在拋物線y= x2﹣ x上，

∴ t= ×（t﹣ ）2﹣ （t﹣ ），

解得：t= ；

當(dāng)點(diǎn)M在線段QP的延長(zhǎng)線上時(shí)，

同理可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t﹣4，2t），

∵點(diǎn)M在拋物線y= x2﹣ x上，

∴2t= ×（t﹣4）2﹣ （t﹣4），

解得：t= ．

綜上所述：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 秒、 秒、 秒或 秒時(shí)，QM=2PM．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法把A、B坐標(biāo)代入解析式即可；（2）要證坐標(biāo)系中的兩直線平行，可求兩直線的解析式，斜率k相等，兩直線平行，常數(shù)b可不必求出；（3）須動(dòng)手畫出點(diǎn)M與線段PQ的兩種相對(duì)位置，分類討論，斜線段QM與PM的比，通過(guò)作垂線，轉(zhuǎn)化為x軸上水平線段的比，構(gòu)建方程，求出t.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)．