Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)（點(diǎn)C不與A，B重合），連接CA，CB．∠ACB的平分線(xiàn)CD與⊙O交于點(diǎn)D．

（1）求∠ACD的度數(shù)；

（2）探究CA，CB，CD三者之間的等量關(guān)系，并證明；

（3）E為⊙O外一點(diǎn)，滿(mǎn)足ED＝BD，AB＝5，AE＝3，若點(diǎn)P為AE中點(diǎn)，求PO的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）∠ACD＝45°；（2）BC+AC＝CD，見(jiàn)解析；（3）OP＝．

【解析】

（1）由圓周角的定義可求∠ACB＝90°，再由角平分線(xiàn)的定義得到∠ACD＝45°；

（2）連接CO延長(zhǎng)與圓O交于點(diǎn)G，連接DG、BG，延長(zhǎng)DG、CB交于點(diǎn)F；先證明△BGF是等腰直角三角形，得到BG＝BF，AG＝BF，再證明△CDF是等腰三角三角形，得到CF＝CD，即可求得BC+AC＝CD；

（3）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥ED，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥ED交ED延長(zhǎng)線(xiàn)與點(diǎn)N，連接BE；先證明Rt△AMD≌Rt△DNB（AAS），再證明△AED是等腰三角形，分別求得EN＝，BN＝，在Rt△EBN中，BE＝，OP＝BN＝．

解：（1）∵AB是直徑，點(diǎn)C在圓上，

∴∠ACB＝90°，

∵∠ACB的平分線(xiàn)CD與⊙O交于點(diǎn)D，

∴∠ACD＝45°；

（2）BC+AC＝CD，

連接CO延長(zhǎng)與圓O交于點(diǎn)G，連接DG、BG，延長(zhǎng)DG、CB交于點(diǎn)F；

∴∠CDG＝∠CBG＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴AC∥BG，

∴∠CGB＝∠ACG，

∴∠CGB＝45°+∠DCG，

∵∠CBF＝90°+∠DCG，

∴∠BGF＝45°，

∴△BGF是等腰直角三角形，

∴BG＝BF，

∵△ACO≌△BGO（SAS），

∴AG＝BF，

∵△CDF是等腰三角三角形，

∴CF＝CD，

∴BC+AC＝CD；

（3）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥ED，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥ED交ED延長(zhǎng)線(xiàn)與點(diǎn)N，連接BE；

∵∠ACD＝∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，

∴AD＝BD，

∵AB＝5，

∴BD＝AD＝，

∵∠MAD＝∠BDN，

∴Rt△AMD≌Rt△DNB（AAS），

∴AM＝DN，MD＝BN，

∵ED＝BD，

∴△AED是等腰三角形，

∵AE＝3，

∴AM＝，DM＝，

∴EN＝，BN＝，

在Rt△EBN中，BE＝，

∵P是AE的中點(diǎn)，O是AB的中點(diǎn)，

∴OP＝BN，

∴OP＝．