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如圖,在直角坐標系中,矩形ABCD的邊AD在y軸正半軸上,點A、C的坐標分別為(0,1)、(2,4).點P從點A出發(fā),沿A?B?C以每秒1個單位的速度運動,到點C停止;點Q在x軸上,橫坐標為點P的橫、縱坐標之和.拋物線經過A、C兩點.過點P作x軸的垂線,垂足為M,交拋物線于點R.設點P的運動時間為t(秒),△PQR的面積為S(平方單位).
(1)求拋物線對應的函數關系式;
(2)分別求t=1和t=4時,點Q的坐標;
(3)當0<t≤5時,求S與t之間的函數關系式,并直接寫出S的最大值.
參考公式:拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為

【答案】分析:(1)由于拋物線過A、C兩點,因此可根據A、C的坐標用待定系數法求出拋物線的解析式.
(2)當t=1時,P在AB上,AP=1因此P點的坐標為(1,1);Q點坐標為(2,0).
當t=4時,此時P在BC上,且BP=4-AB=2,P點的坐標為(2,3);Q點的坐標為(5,0)
(3)本題要分兩種情況進行討論:
①當P在AB上時,即當0<t≤2時,AP=t,OQ=t+OA=t+1,MQ=t+1-t=1,將P的橫坐標即t代入拋物線的解析式中即可求出R的縱坐標的值即RM的長.進而可求出PR的長,由此可根據S△RPQ=RP•MQ=PR,求出S與t的函數關系式,進而可根據函數的性質求出S的最大值.
②當P在BC上時,即當2<t≤5時,BP=t-AB=t-2,PM=t-AB+OA=t-1.而此時R與C重合,因此RM=4,因此RP=5-t,而
QM=OQ-AB=2+(t-2+1)-2=t-1.然后根據①的方法即可求出S的最大值.
解答:解:(1)由拋物線經過點A(0,1),C(2,4),
,
解得,
∴拋物線對應的函數關系式為:y=-x2+2x+1.

(2)當t=1時,P點坐標為(1,1),
∴Q點坐標為(2,0).
當t=4時,P點坐標為(2,3),
∴Q點坐標為(5,0).

(3)∵0<t≤5,
當0<t≤2時,S=(-t2+2t+1-1)×1,
S=-t2+t=-(t-4)2+2,
∵t=4不在0<t≤2中,
∴當t=2時(如圖所示),S的最大值為1.5;
當2<t≤5時,S=(5-t)(2+t-2+1-2),
S=-t2+3t-=-(t-3)2+2,
因此當t=3時,S的最大值為2.
綜上所述,S的最大值為2.
點評:本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式以及二次函數的應用;在(3)題中要根據P點的不同位置進行分類討論,不要漏解.
練習冊系列答案
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18、如圖,在直角坐標系中,已知點A(-3,0),B(0,4),對△OAB連續(xù)作旋轉變換,依次得到三角形①、②、③、④…,則三角形⑦的直角頂點的坐標為
(24,0)

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(1)在圖中畫出線段OP′;
(2)求P′的坐標和
PP′
的長度.

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6
x
的圖象經過第一象限的點A,點A的縱坐標是橫坐標的
3
2
倍.
(1)求點A的坐標;
(2)如果經過點A的一次函數圖象與x軸的負半軸交于點B,AC⊥x軸于點C,若△ABC的面積為9,求這個一次函數的解析式.
(3)點D在反比例函數y=
6
x
的圖象上,且點D在直線AC的右側,作DE⊥x軸于點E,當△ABC與△CDE相似時,求點D的坐標.

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(1)△AOB的面積是
6
6

(2)三角形(2013)的直角頂點的坐標是
(8052,0)
(8052,0)

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