如圖，拋物線的頂點A的坐標（0，2），對稱軸為y軸，且經過點（-4，4）．
（1）求拋物線的表達式．
（2）若點B的坐標為（0，4），P為拋物線上一點（如圖），過點P作PQ⊥x軸于點Q，連接PB．求證：PQ=PB．
（3）若點C（-2，4），利用（2）的結論．判斷拋物線上是否存在一點K，使△KBC的周長最小？若存在，求出這個最小值，并求此時點K的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】分析：（1）已知拋物線的頂點坐標，可將解析式設為y=a（x-k）2+h的形式，再將另一點的坐標代入即可確定待定系數(shù)．
（2）首先設P點的坐標，然后表示出PQ、PB的長，進行比較即可．
（3）BC的長是定值，若△KBC的周長最小，那么KC+KB的長最小，結合（2）的結論，當CK∥y軸，即過C作x軸的垂線時，該垂線和拋物線的交點即為符合條件的K點．
解答：（1）解：由于拋物線的頂點為（0，2），設其解析式為：y=ax2+2；
將點（-4，4）代入上式，得：a×（-4）2+2=4，a=
即：拋物線的解析式：y=x2+2．

（2）證明：設P（a，a2+2），則PQ=a2+2．
已知：B（0，4），則 PB==a2+2；
即：PQ=PB．

（3）解：如圖，過C作CD⊥x軸于D，交拋物線于點K；
由于BC是定值，若△CKB的周長最小，那么 CK+KB 的值需最�。�
由（2）知：KD=KB，則CD=CK+KD=CK+KB；
在拋物線上取K點外的任一點P，則：CD=CK+KD＜CP+PQ，即：CK+KB＜CP+BP
因此K點即為所求．
已知C（-2，4），將x=-2代入y=x2+2中，得：y=，即 K（-2，）．
△CKB的最小周長：CK+KB+CB=CD+BC=4+2=6．
點評：該二次函數(shù)綜合題主要考查了：函數(shù)解析式的確定、直角坐標系中兩點間的距離公式等知識，難度適中．準確找出K點位置是解答（3）的關鍵．
練習冊系列答案
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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

已知：如圖，拋物線的頂點為點D，與y軸相交于點A，直線y=ax+3與y軸也交于點A，矩形ABCO的頂點B在精英家教網此拋物線上，矩形面積為12，
（1）求該拋物線的對稱軸；
（2）⊙P是經過A、B兩點的一個動圓，當⊙P與y軸相交，且在y軸上兩交點的距離為4時，求圓心P的坐標；
（3）若線段DO與AB交于點E，以點D、A、E為頂點的三角形是否有可能與以點D、O、A為頂點的三角形相似，如果有可能，請求出點D坐標及拋物線解析式；如果不可能，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

21、如圖，拋物線的頂點為A（1，-4），且過點B（3，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）將該拋物線向右平移幾個單位，可使平移后的拋物線經過原點？并直接寫出平移后拋物線與x軸的另一個交點坐標．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，拋物線的頂點坐標為M（1，4），與x軸的一個交點是A（-1，0），與y軸交于點B，直線x=1交x軸于點N．
（1）求拋物線的解析式及點B的坐標；
（2）求經過B、M兩點的直線的解析式，并求出此直線與x軸的交點C的坐標；
（3）若點P在拋物線的對稱軸x=1上運動，請你探索：在x軸上方是否存在這樣的P點，使精英家教網以P為圓心的圓經過點A，并且與直線BM相切？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•河南）如圖，拋物線的頂點為P（-2，2），與y軸交于點A（0，3）．若平移該拋物線使其頂點P沿直線移動到點P′（2，-2），點A的對應點為A′，則拋物線上PA段掃過的區(qū)域（陰影部分）的面積為
12
12
．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•雅安）如圖，拋物線的頂點A的坐標（0，2），對稱軸為y軸，且經過點（-4，4）．
（1）求拋物線的表達式．
（2）若點B的坐標為（0，4），P為拋物線上一點（如圖），過點P作PQ⊥x軸于點Q，連接PB．求證：PQ=PB．
（3）若點C（-2，4），利用（2）的結論．判斷拋物線上是否存在一點K，使△KBC的周長最小？若存在，求出這個最小值，并求此時點K的坐標；若不存在，請說明理由．

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