(2006•黃石)已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過兩點(diǎn)A(1,0)、B(5,0),且函數(shù)有最小值-1.直線y=m(x-3)與二次函數(shù)圖象交于C、D兩點(diǎn).
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)證明:以CD為直徑的圓與直線y=-2相切;
(3)設(shè)以CD為直徑的圓與直線y=-2的切點(diǎn)為E,過點(diǎn)C、D分別作直線y=-2的垂線,垂足為F、G、S1、S2、S分別表示△CEF、△DEG、△CDE的面積.證明:S=S1+S2

【答案】分析:(1)根據(jù)題意可得二次函數(shù)的對稱軸為x=(1+5)÷2=3,所以此函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-1),利用頂點(diǎn)式即可求得;
(2)此題要借助于根與系數(shù)的關(guān)系,根據(jù)題意可得點(diǎn)C,D是方程組的解,由勾股定理得CD的長,化簡即可證得;
(3)因?yàn)橹本y=-2與以CD為直徑的圓相切,又切點(diǎn)為E.知,Rt△CED∽Rt△CEF,Rt△DCE∽Rt△DEG,求出S1與S2的值即可證得.
解答:(1)解:二次函數(shù)的解析式為y=(x-3)2-1

(2)證明:(如圖)設(shè)C(x1,y1)、D(x2,y2),CD的中點(diǎn)為M(x,y
即M點(diǎn)的坐標(biāo)為
聯(lián)立方程組
得x2-(6+4m)x+5+12m=O
由根與系數(shù)關(guān)系,得
x1+x2=6+4m,x1•x2=5+12m.①
過C點(diǎn)作DG的垂線,垂足為H,則H點(diǎn)坐標(biāo)為(x2,y1
在Rt△CHD中.由勾股定理得
CD=
∵y2-y1=m(x2-3)-m(x1-3)=m(x2-x1
∴CD=
=
將①代入上式得
CD==4(m2+1)
又M到直線y=-2的距離為a=|y-(-2)|=y+2
=2+(y1+y2)=2+[m(x1-3)+m(x2-3)]
=2+(x1+x2)m-3m
=2+2m2=CD
CD為直徑的圓與直線y=-2相切.(8分)

(3)證明:由(2)知直線y=-2與以CD為直徑的圓相切,又切點(diǎn)為E.知,
Rt△CED∽Rt△CEF,Rt△DCE∽Rt△DEG,
因此,S1=
S1+S2=[]S
由勾股定理得,S1+S2=S.
點(diǎn)評:此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)以及圓的綜合知識,解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
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D.

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A.x≤
B.x<
C.x≥3
D.x≤3

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