如圖,點(diǎn)P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),且PA=1,PB=2,PC=3.試求∠APB的度數(shù).
分析:將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,使得AB與BC重合,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△BPP′是等腰直角三角形,然后求出PP′,再根據(jù)勾股定理逆定理判定出△PP′C是直角三角形,然后求出∠BP′C的度數(shù),再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠APB=∠BP′C.
解答:證明:如圖,將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,使得AB與BC重合,
則P′C=PA=1,△BPP′是等腰直角三角形,
∵PB=2,
∴PP′=
2
PB=2
2
,
在△PP′C中,PP′2+P′C2=(2
2
2+12=9,
PC2=32=9,
∴PP′2+P′C2=PC2,
∴△PP′C是直角三角形,
∠BP′C=∠BP′P+∠PP′C=45°+90°=135°,
∵△CBP′是△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到,
∴∠APB=∠BP′C=135°.
點(diǎn)評(píng):本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),主要利用了旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小,勾股定理的逆定理,作出圖形并判斷出△PP′C是直角三角形是解題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,點(diǎn)F為正方形內(nèi)一點(diǎn),在正方形外有一點(diǎn)E,滿足∠ABF=∠CBE,BF=BE.
(1)求證:△ABF≌△CBE;
(2)連接EF,試判斷△BEF的形狀,并證明你的結(jié)論.
(3)當(dāng)CF:BF=1:2,∠BFC=135°時(shí),求cos∠FCE的值.

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如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形OABC的面積是16.
(1)求正方形OABC的對(duì)角線的交點(diǎn)D的坐標(biāo);
精英家教網(wǎng)
(2)直線y=2x+8交x軸于E,交y軸于F,它沿x軸正方向以每秒移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移,設(shè)平移的時(shí)間為t秒,問(wèn)是否存在t的
值,使直線EF平分正方形OABC的面積?若存在,請(qǐng)求出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
精英家教網(wǎng)
(3)如圖,點(diǎn)P為正方形OABC的對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)(端點(diǎn)A、C除外),PM⊥PO,交直線AB于M,給出下列兩個(gè)結(jié)論:①
PC
BM
的值不變;②
PC
AM
的值不變;其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的,請(qǐng)你選出正確的結(jié)論,予以證明并求其值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,點(diǎn)O為正方形ABCD的中心,BE平分∠DBC交DC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F,使FC=EC,連接DF交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接OH交DC于點(diǎn)G,連接HC.則以下四個(gè)結(jié)論中正確結(jié)論為( 。  
①BF=2OH;②∠CHF=45°;③BC=4GH;④DH2=HE•HB.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,點(diǎn)F為正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn),E為BC上一點(diǎn),M為EF上一點(diǎn),且D、M關(guān)于AF對(duì)稱,B、M關(guān)于AE對(duì)稱,∠CFE的平分線交AE的延長(zhǎng)線于G,交BC于N,連CG,下列結(jié)論:①△AFG為等腰直角三角形;②CG=2
2
CN;③S△CEF=S△ABE,其中正確的有( 。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,點(diǎn)E為正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn),AB=10,AE=4.△DAE旋轉(zhuǎn)后能與△DCF重合.
(1)旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)
D
D
,旋轉(zhuǎn)了
90
90
度.
(2)連接EF,則△DEF是
等腰直角
等腰直角
三角形.
(3)四邊形DEBF的周長(zhǎng)和面積分別是
20+4
29
20+4
29
100
100

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