Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，DP⊥AC，垂足為點(diǎn)P．

(1)求證：PD是⊙O的切線．

(2)若AC＝6，cosA＝，求PD的長(zhǎng)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：如圖：連接OD，AD． 　　∵D為弧BC的中點(diǎn)， 　　∴弧CD＝弧BD． 　　∴ 　　∵， 　　∴． 　　∴PA∥DO．　1分 　　∵DP⊥AP， 　　∴∠P＝90°． 　　∴∠ODP＝∠P＝90°． 　　即：OD⊥PD． 　　∵點(diǎn)D在⊙O上， 　　∴PD是⊙O的切線．　2分 　　(2)連結(jié)CB交OD于點(diǎn)E． 　　∵AB為⊙O直徑， 　　∴∠ACB＝∠ECP＝90°． 　　∵∠ODP＝∠P＝90°， 　　∴四邊形PCED為矩形． 　　∴PD＝CE，∠CED＝90°．　3分 　　∴OD⊥CB． 　　∴EB＝CE．　4分 　　在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， 　　∴cosA＝． 　　∵AC＝6，cosA＝， 　　∴AB＝10． 　　∴BC＝8． 　　∴CE＝PD＝BC＝4．　5分