Question

為發(fā)展山區(qū)農村經濟，縣政府鼓勵農民結合本地實際開發(fā)果樹種植．綠楊鄉(xiāng)青年張青松種植了20棵蘋果樹，30棵桃樹．按照種果樹的經驗，每棵蘋果樹結的果實的利潤y₁元與平均每棵蘋果樹的護理投資x元之間的關系是y₁₌每棵桃樹結的果實的利潤y₂元與平均每棵桃樹的護理投資t元之間的關系是（0≤t≤6）．青年張青松為這50棵果樹總共投資240元．
（1）求出張青松種植50棵果樹的總利潤w元與平均每棵蘋果樹護理投資x元之間的函數(shù)關系式，并指出x的取值范圍；
（2）如何分配這兩種果樹的投資金額，使得張青松的總利潤達到最大值？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用綠楊鄉(xiāng)青年張青松種植了20棵蘋果樹，30棵桃樹，平均每棵蘋果樹的護理投資x元，平均每棵桃樹的護理投資t元，
得出20x+30t=240，即t=8-x，進而得出y₂與x的函數(shù)關系式，得出x的取值范圍，進而得出w與x之間的關系式；
（2）利用配方法以及二次函數(shù)的增減性分別求出最大值即可．
解答：解：（1）∵綠楊鄉(xiāng)青年張青松種植了20棵蘋果樹，30棵桃樹，平均每棵蘋果樹的護理投資x元，平均每棵桃樹的護理投資t元，
∴20x+30t=240，∴t=8-x．
則y₂與x的關系是：y₂=3t+27=-2x+51（3≤x≤12）
y₂=45 （x＜3）．
∴當0≤x＜3時，w=20y₁+30y₂=20[-0.25（x-8）²+36]+30×45=-5x²+80x+1750，
當3≤x≤6時，w=20y₁+30y₂=20[-0.25（x-8）²+36]+30（-2x+51）=-5x²+20x+1930，
當6＜x≤12時，w=20y₁+30y₂=20×35+30（-2x+51）=-60x+2230．
即w與x之間的函數(shù)關系式是：
W=-5x²+80x+1750（0≤x＜3）
W=-5x²+20x+1930 （3≤x≤6）
W=-60x+2230（6＜x≤12）．

（2）當0≤x＜3時，w=-5x²+80x+1750=-5（x-8）²+2070，
w隨x的增大而增大，
∴x＜3時，w＜1945．
當3≤x≤6時，w=-5x²+20x+1930=-5（x-2）²+1950，
w隨x的增大而減小，
∴x=3時，w_max=-5+1950=1945．
當6＜x≤12時，w=-60x+2230，-60＜0，
w隨x的增大而減小，
∴x＞6時，w＜-60×6+2230=1870．
綜上所述，當x=3時，w有最大值，此時t=6．
即：每棵蘋果樹投資3元，每棵桃樹投資6元時，可以使得張青松的總利潤達到最大值．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的應用以及二次函數(shù)求最值問題常用公式法或配方法，同學們需要掌握函數(shù)模型的選擇與應用、基本不等式及函數(shù)的最值問題的靈活應用．