Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直線MN是過點(diǎn)A的直線CD⊥MN于點(diǎn)D，連接BD．

（1）觀察猜想張老師在課堂上提出問題：線段DC，AD，BD之間有什么數(shù)量關(guān)系．經(jīng)過觀察思考，小明出一種思路：如圖1，過點(diǎn)B作BE⊥BD，交MN于點(diǎn)E，進(jìn)而得出：DC+AD=　　BD．

（2）探究證明

將直線MN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置寫出此時(shí)線段DC，AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明

（3）拓展延伸

在直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)△ABD面積取得最大值時(shí)，若CD長(zhǎng)為1，請(qǐng)直接寫BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）AD﹣DC=BD；（3）BD=AD=+1．

【解析】

（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出DC，AD，BD之間的數(shù)量關(guān)系

（2）過點(diǎn)B作BE⊥BD，交MN于點(diǎn)E．AD交BC于O，

證明，得到，，

根據(jù)為等腰直角三角形，得到，

再根據(jù)，即可解出答案.

（3）根據(jù)A、B、C、D四點(diǎn)共圓，得到當(dāng)點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上且在AB的右側(cè)時(shí)，△ABD的面積最大．

在DA上截取一點(diǎn)H，使得CD=DH=1，則易證，

由即可得出答案.

解：（1）如圖1中，

由題意：，

∴AE=CD，BE=BD，

∴CD+AD=AD+AE=DE，

∵是等腰直角三角形，

∴DE=BD，

∴DC+AD=BD，

故答案為．

（2）．

證明：如圖，過點(diǎn)B作BE⊥BD，交MN于點(diǎn)E．AD交BC于O．

∵，

∴，

∴．

∵，，，

∴，

∴．又∵，

∴，

∴，，

∴為等腰直角三角形，．

∵，

∴．

（3）如圖3中，易知A、B、C、D四點(diǎn)共圓，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上且在AB的右側(cè)時(shí)，△ABD的面積最大．

此時(shí)DG⊥AB，DB=DA，在DA上截取一點(diǎn)H，使得CD=DH=1，則易證，

∴．