Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)F、C是⊙O上兩點(diǎn)，且點(diǎn)C為弧BF的中點(diǎn)，連接AC、AF，過點(diǎn)C作CD⊥AF交AF延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）判斷線段AB、AF與AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AF+AB=2AD ，理由見解析.

【解析】

（1）由=，OA=OC知∠DAC=∠BAC=∠ACO，由CD⊥AF知∠DAC+∠DCA=90°，從而得∠DCO=90°，從而得證；

（2）作CE⊥AB，連接CF，CB，先證Rt△DAC≌Rt△EAC得AD=AE，再證Rt△CDF≌Rt△CEB得DF=EB，根據(jù)AF=AD﹣CF，AB=AE+BE可得答案．

（1）連接OC．

∵=，OA=OC，∴∠DAC=∠BAC=∠ACO．

∵CD⊥AF于D，∴∠DAC+∠DCA=90°，∴∠DCA+∠OCA=90°，即∠DCO=90°，∴CD為⊙O的切線．

（2）AF+AB=2AD．理由如下：

過C點(diǎn)作CE⊥AB于E，連接CF，CB，則∠CDA=∠CEA=90°．

∵∠DAC=∠EAC，AC=AC，∴Rt△DAC≌Rt△EAC（AAS），CD=CE，AD=AE．

又∵∠DFC+∠AFC=180°，∠AFC+∠B=180°，∴∠DFC=∠B，∴Rt△CDF≌Rt△CEB（AAS），∴DF=EB，∴AF=AD﹣CF，AB=AE+BE，∴AF+AB=AD+AE=2AD．