如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c經過A、B、C三點,已知點A(﹣3,0),B(0,3),C(1,0).

(1)求此拋物線的解析式.

(2)點P是直線AB上方的拋物線上一動點,(不與點A、B重合),過點P作x軸的垂線,垂足為F,交直線AB于點E,作PD⊥AB于點D.

①動點P在什么位置時,△PDE的周長最大,求出此時P點的坐標;

②連接PA,以AP為邊作圖示一側的正方形APMN,隨著點P的運動,正方形的大小、位置也隨之改變.當頂點M或N恰好落在拋物線對稱軸上時,求出對應的P點的坐標.(結果保留根號)

考點:

二次函數(shù)綜合題.

專題:

代數(shù)幾何綜合題.

分析:

(1)把點A、B、C的坐標代入拋物線解析式,利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可;

(2)①根據(jù)點A、B的坐標求出OA=OB,從而得到△AOB是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質可得∠BAO=45°,然后求出△PED是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質,PD越大,△PDE的周長最大,再判斷出當與直線AB平行的直線與拋物線只有一個交點時,PD最大,再求出直線AB的解析式為y=x+3,設與AB平行的直線解析式為y=x+m,與拋物線解析式聯(lián)立消掉y,得到關于x的一元二次方程,利用根的判別式△=0列式求出m的值,再求出x、y的值,從而得到點P的坐標;

②先確定出拋物線的對稱軸,然后(i)分點M在對稱軸上時,過點P作PQ⊥對稱軸于Q,根據(jù)同角的余角相等求出∠APF=∠QPM,再利用“角角邊”證明△APF和△MPQ全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得PF=PQ,設點P的橫坐標為n,表示出PQ的長,即PF,然后代入拋物線解析式計算即可得解;(ii)點N在對稱軸上時,同理求出△APF和△ANQ全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得PF=AQ,根據(jù)點A的坐標求出點P的縱坐標,再代入拋物線解析式求出橫坐標,即可得到點P的坐標.

解答:

解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c經過點A(﹣3,0),B(0,3),C(1,0),

,

解得,

所以,拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3;

(2)①∵A(﹣3,0),B(0,3),

∴OA=OB=3,

∴△AOB是等腰直角三角形,

∴∠BAO=45°,

∵PF⊥x軸,

∴∠AEF=90°﹣45°=45°,

又∵PD⊥AB,

∴△PDE是等腰直角三角形,

∴PD越大,△PDE的周長越大,

易得直線AB的解析式為y=x+3,

設與AB平行的直線解析式為y=x+m,

聯(lián)立

消掉y得,x2+3x+m﹣3=0,

當△=32﹣4×1×(m﹣3)=0,

即m=時,直線與拋物線只有一個交點,PD最長,

此時x=﹣,y=﹣+=

∴點P(﹣,)時,△PDE的周長最大;

②拋物線y=﹣x2﹣2x+3的對稱軸為直線x=﹣=﹣1,

(i)如圖1,點M在對稱軸上時,過點P作PQ⊥對稱軸于Q,

在正方形APMN中,AP=PM,∠APM=90°,

∴∠APF+∠FPM=90°,∠QPM+∠FPM=90°,

∴∠APF=∠QPM,

∵在△APF和△MPQ中,

,

∴△APF≌△MPQ(AAS),

∴PF=PQ,

設點P的橫坐標為n(n<0),則PQ=﹣1﹣n,

即PF=﹣1﹣n,

∴點P的坐標為(n,﹣1﹣n),

∵點P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上,

∴﹣n2﹣2n+3=﹣1﹣n,

整理得,n2+n﹣4=0,

解得n1=(舍去),n2=

﹣1﹣n=﹣1﹣=

所以,點P的坐標為(,);

(ii)如圖2,點N在對稱軸上時,設拋物線對稱軸與x軸交于點Q,

∵∠PAF+∠FPA=90°,∠PAF+∠QAN=90°,

∴∠FPA=∠QAN,

又∵∠PFA=∠AQN=90°,PA=AN,

∴△APF≌△NAQ,

∴PF=AQ,

設點P坐標為P(x,﹣x2﹣2x+3),

則有﹣x2﹣2x+3=﹣1﹣(﹣3)=2,

解得x=﹣1(不合題意,舍去)或x=﹣﹣1,

此時點P坐標為(﹣﹣1,2).

綜上所述,當頂點M恰好落在拋物線對稱軸上時,點P坐標為(,),當頂點N恰好落在拋物線對稱軸上時,點P的坐標為(﹣﹣1,2).

點評:

本題是二次函數(shù)綜合題型,主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,等腰直角三角形的判定與性質,正方形的性質,全等三角形的判定與性質,拋物線上點的坐標特征,(2)確定出△PDE是等腰直角三角形,從而判斷出點P為平行于AB的直線與拋物線只有一個交點時的位置是解題的關鍵,(3)根據(jù)全等三角形的性質用點P的橫坐標表示出縱坐標或用縱坐標求出橫坐標是解題的關鍵.

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(2)當∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時點P的坐標.

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5
29
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k
x
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k
x
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