(2013•江寧區(qū)二模)如圖:在平面直角坐標(biāo)系中,A、B兩點的坐標(biāo)分別為(1,5)、(3,3),一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸、y軸分別交于點M、N,如果以點A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形,則一次函數(shù)y=kx+b的關(guān)系式為
y=-x+2或y=-x-2或y=-2x+8
y=-x+2或y=-x-2或y=-2x+8
分析:如圖所示,分三種情況考慮:(i)當(dāng)直線MN與x軸、y軸交于N(2,0)、M(0,2),此時MN=AB=2
2
,且直線MN與直線AB斜率相同,即兩直線平行,可得出此時AMNB為平行四邊形,滿足題意,求出此時直線MN的方程;(ii)當(dāng)直線與x軸,y軸分別交于N′、M′,此時M′N′=AB=2
2
,且直線M′N′與直線AB斜率相同,即兩直線平行,可得出AN′M′B為平行四邊形,求出此時直線的方程;(iii)直線與x軸,y軸分別交于N′′、M′′,直線M′′N′′與直線AB交于C點,若C為M′′N′′與AB中點,四邊形為平行四邊形,求出此時直線方程即可.
解答:解:如圖所示:分三種情況考慮:
(i)當(dāng)直線MN與x軸、y軸交于N(2,0)、M(0,2),此時MN=AB=2
2
,
且直線MN與直線AB斜率相同,都為-1,即兩直線平行,
∴AMNB為平行四邊形,
將M、N兩點代入y=kx+b中得:
2k+b=0
b=2
,
解得:k=-1,b=2,此時直線MN的方程為y=-x+2;
(ii)當(dāng)直線與x軸,y軸分別交于N′(-2,0)、M′(0,-2),此時M′N′=AB=2
2
,
且直線M′N′與直線AB斜率相同,都為-1,即兩直線平行,
∴AN′M′B為平行四邊形,
將M′、N′兩點坐標(biāo)代入y=kx+b中得:
-2k+b=0
b=-2
,
解得:k=-1,b=-2,此時直線的方程為y=-x-2;
(iii)直線與x軸,y軸分別交于N′′、M′′,直線M′′N′′與直線AB交于C點,
若C為M′′N′′與AB中點,四邊形為平行四邊形,此時C坐標(biāo)為(2,4),M′′(0,8),N′′(4,0),
將M′′、N′′兩點坐標(biāo)代入y=kx+b得:
b=8
4k+b=0
,
解得:k=-2,b=8,
此時直線方程為y=-2x+8,
綜上,一次函數(shù)y=kx+b解析式為y=-x+2或y=-x-2或y=-2x+8.
故答案為:y=-x+2或y=-x-2或y=-2x+8
點評:此題考查了一次函數(shù)綜合題,涉及的知識有:平行四邊形的判定與性質(zhì),兩點間的距離公式,直線的斜率,平行四邊形的判定,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,坐標(biāo)與圖形性質(zhì),利用了數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想,做題時注意考慮問題要全面,不用漏解.
練習(xí)冊系列答案
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15
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(2013•江寧區(qū)二模)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=-x2-2x+2的圖象與y軸交于點C,以O(shè)C為一邊向左側(cè)作正方形OCBA.

(1)判斷點B是否在二次函數(shù)y=-x2-2x+2的圖象上?并說明理由;
(2)用配方法求二次函數(shù)y=-x2-2x+2的圖象的對稱軸;
(3)如圖2,把正方形OCBA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)α后得到正方形A1B1C1O(0°<α<90°).
①當(dāng)tanα﹦
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時,二次函數(shù)y=-x2-2x+2的圖象的對稱軸上是否存在一點P,使△PB1C1為直角三角形?若存在,請求出所有點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
②在二次函數(shù)y=-x2-2x+2的圖象的對稱軸上是否存在一點P,使△PB1C1為等腰直角三角形?若存在,請直接寫出此時tanα的值;若不存在,請說明理由﹒
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