如圖①,邊長為4cm的正方形ABCD的頂點A與坐標原點0重合,邊AB在x軸上,點C在第四象限,當(dāng)正方形ABCD沿x軸以1cm/秒的速度向右勻速運動,運動時間為t秒時,經(jīng)過A、B兩點的拋物線y=ax2+bx+c與y軸相交于E點,其頂點為M.
(1)若正方形ABCD在運動過程中,拋物線y=ax2+bx+c的頂點M保持在正方形的內(nèi)部,求a的取值范圍.
(2)設(shè)正方形ABCD在運動過程中,△ABE與△ABM的面積比為k,求k與運動時間為t(秒)之間的關(guān)系式.
(3)當(dāng)正方形ABCD沿x軸向右運動2秒鐘時,在拋物線y=ax2+bx+c上存在一個點P,使△ABP為直角三角形,且△OPA∽△OBP,求此時拋物線的解析式.

【答案】分析:(1)根據(jù)已知得出A(t,0),B(t+4,0),即可得出二次函數(shù)的對稱軸為x=t+2,設(shè)y=a(x-t-2)2+k,進而將A(t,0)代入得k=-4a,再根據(jù)-4a<0,-4a>-4得出a的取值范圍;
(2)根據(jù)△ABE與△ABM的面積比為k,分別表示出兩三角形面積即可;
(3)由△OPA∽△OBP得出比例式,求出OP=2,進而求出AP的長,得到P點坐標,即可求出拋物線的解析式.
解答:解:(1)∵A(t,0),B(t+4,0),
∴拋物線對稱軸為x=t+2.
設(shè)y=a(x-t-2)2+k,
將A(t,0)代入,得k=-4a,
∴y=a(x-t-2)2-4a,
∴頂點M(t+2,-4a),
由-4a<0,-4a>-4,
解得:0<a<1.

(2)由(1)知M(t+2,-4a),E(0,at2+4at)
;

(3)∵t=2,
∴y=a(x-4)2-4a,
當(dāng)y=0時,x1=2,x2=6,
∴OA=2,OB=6,
∵△OPA∽△OBP,
==,
∴OP=2(負值舍去),
=,
∵△ABP為直角三角形,AB=4,
∴AP=2,BP=2=OP
作DF⊥AB于F,則OF=OB=3,
∴PF=,P(3,-),
由P在拋物線上得,a-4a=-,a=


點評:此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)和頂點式求二次函數(shù)解析式等知識,相似三角形考查經(jīng)常與二次函數(shù)綜合出現(xiàn),題目綜合性較強,同學(xué)們應(yīng)注意細心分析利用數(shù)形結(jié)合盡可能減少錯誤.
練習(xí)冊系列答案
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如圖①,將邊長為4cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊(點E、F分別在邊AB、CD上),使點B落在AD邊上的點M處,點C落在點N處,MN與CD交于點P,連接EP.
(1)如圖②,若M為AD邊的中點,
①△AEM的周長=
 
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41
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