Question

【題目】關于x的二次函數y=-x2+bx+c經過點A（-3，0），點C（0，3），點D為二次函數的頂點，DE為二次函數的對稱軸，E在x軸上.

（1）求拋物線的解析式；

（2）DE上是否存在點P到AD的距離與到x軸的距離相等？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1） y=-x2-2x+3，（2）存在；（-1，-1）或（-1，--1）.

【解析】

試題（1）把A、C兩點坐標代入可求得b、c，可求得拋物線解析式；

（2）當點P在∠DAB的平分線上時，過P作PM⊥AD，設出P點坐標，可表示出PM、PE，由角平分線的性質可得到PM=PE，可求得P點坐標；當點P在∠DAB外角平分線上時，同理可求得P點坐標.

試題解析：（1）∵二次函數y=-x2+bx+c經過點A（-3，0），點C（0，3），

∴，

解得，

∴拋物線的解析式y=-x2-2x+3，

（2）存在，

當P在∠DAB的平分線上時，如圖1，作PM⊥AD，

設P（-1，m），則PM=PDsin∠ADE=（4-m），PE=m，

∵PM=PE，

∴（4-m）=m，m=-1，

∴P點坐標為（-1，-1）；

當P在∠DAB的外角平分線上時，如圖2，作PN⊥AD，

設P（-1，n），則PN=PDsin∠ADE=（4-n），PE=-n，

∵PN=PE，

∴（4-n）=-n，n=--1，

∴P點坐標為（-1，--1）；

綜上可知存在滿足條件的P點，其坐標為（-1，-1）或（-1，--1）.