Question

【題目】如圖1，點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），分別以為一腰在的同側(cè)作等腰和，，，，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接.

線段與的數(shù)量關(guān)系為 ；請(qǐng)直接寫(xiě)出 ；

將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，其他條件不變，探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；求出此時(shí)的度數(shù)；

在的條件下求證：.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ，,理由見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）只要證明△ACE≌△DCB，即可解決問(wèn)題；

（2）只要證明△ACE≌△DCB，即可解決問(wèn)題；

（3）如圖2-1中，分別過(guò)C作CH⊥AE，垂足為H，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BD，垂足為G，利用面積法證明CG=CH，再利用角平分線的判定定理證明∠DPC=∠EPC即可解決問(wèn)題；

如圖1中，

∵∠ACD=∠BCE，

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，

∴∠ACE=∠DCB，

又∵CA=CD，CE=CB，

∴△ACE≌△DCB．

∴AE=BD，∴CAE=∠CDB，

∵∠AMC=∠DMP，

∴∠APD=∠ACD=30°，

故答案為AE=BD，30°

如圖2中，結(jié)論：，.

理由：∵∠ACD=∠BCE，

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，

∴∠ACE=∠DCB，

又∵CA=CD，CE=CB，

∴△ACE≌△DCB．

∴AE=BD，∴CAE=∠CDB，

∵∠AMP=∠DMC，

∴∠APD=∠ACD=30°．

證明：如圖2-1中，分別過(guò)作于，過(guò)點(diǎn)作于，

∵△ACE≌△DCB．

∴AE=BD，

∵S△ACE=S△DCB（全等三角形的面積相等），

∴CH=CG，

∴∠DPC=∠EPC（角平分線的性質(zhì)定理的逆定理），

∵∠APD=∠BPE，

∴∠APC=∠BPC．