Question

已知關于x的方程x²-（m-3）x+m-4=0．
（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若方程有一個根大于4且小于8，求m的取值范圍；
（3）設拋物線y=x²-（m-3）x+m-4與y軸交于點M，若拋物線與x軸的一個交點關于直線y=-x的對稱點恰好是點M，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出b²-4ac的值：（m-5）²≥0，即可判斷方程總有兩個實數(shù)根；
（2）求出方程的兩根x₁=1，x₂=m-4，根據(jù)已知方程有一個根大于4且小于8，列出不等式，求出解集即可；
（3）求出拋物線與Y軸的交點坐標，由（2）可知拋物線與x軸的交點為（1，0）和（m-4，0），根據(jù)它們關于直線y=-x的對稱點分別為（0，-1）和（0，4-m），得出方程-1=m-4或4-m=m-4，求出即可得到答案．
解答：（1）證明：△=b²-4ac=（m-3）²-4（m-4）=m²-10m+25=（m-5）²≥0，
所以方程總有兩個實數(shù)根．

（2）解：由（1）△=（m-5）²，根據(jù)求根公式可知，
方程的兩根為：
即：x₁=1，x₂=m-4，
由題意，有4＜m-4＜8，即8＜m＜12．
答：m的取值范圍是8＜m＜12．

（3）解：易知，拋物線y=x²-（m-3）x+m-4與y軸交點為M（0，m-4），
由（2）可知拋物線與x軸的交點為（1，0）和（m-4，0），
它們關于直線y=-x的對稱點分別為（0，-1）和（0，4-m），
由題意，可得：-1=m-4或4-m=m-4，
即m=3或m=4，
答：m的值是3或4．
點評：本題主要考查對拋物線與X軸的交點，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判別式，對稱等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．