Question

【題目】已知拋物線y＝ax2﹣2ax+3與x軸交于點A、B（A左B右），且AB＝4，與y軸交于C點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，證明：對于任意給定的一點P（0，b）（b＞3），存在過點P的一條直線交拋物線于M、N兩點，使得PM＝MN成立；

（3）將該拋物線在0≤x≤4間的部分記為圖象G，將圖象G在直線y＝t上方的部分沿y＝t翻折，其余部分保持不變，得到一個新的函數的圖象，記這個函數的最大值為m，最小值為n，若m﹣n≤6，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）詳見解析；（3）﹣2≤t≤1．

【解析】

（1）拋物線y＝ax2﹣2ax+3的對稱軸為x＝1，又AB＝4，由對稱性得A（﹣1，0）、B（3，0），即可求解；

（2）證明△PMG≌△NMH（AAS），yG+yH＝2yM，即可求解；

（3）分當D′在點H（4，-5）上方、點D′在點H（4，-5）下方兩種情況，分別求解即可．

解：（1）拋物線y＝ax2﹣2ax+3的對稱軸為x＝1，又AB＝4，由對稱性得A（-1，0）、B（3，0）．

把A（-1，0）代入y＝ax2﹣2ax+3，得a+2a+3＝0，∴a＝-1．

∴拋物線的解析式為y＝-x2+2x+3．

（2）如圖，過M作GH⊥x軸，PG∥x軸，NH∥x軸，

由PM＝MN，則△PMG≌△NMH（AAS），

∴PG＝NH，MG＝MH．

設M（m，-m2+2m+3），則N（2m，-4m2+4m+3），

∵P（0，b），GM＝MH，

∴yG+yH＝2yM，

即b+（-4m2+4m+3）＝2（-m2+2m+3），∴2m2＝b-3，

∵b＞3，

∴關于m的方程總有兩個不相等的實數根，

此即說明了點M、N存在，并使得PM＝MN．證畢；

（3）圖象翻折前后如右圖所示，其頂點分別為D（1，4）、D′（1，2t﹣4）．

①當D′在點H（4，-5）上方時，

2t﹣4≥-5，∴t≥-，

此時，m＝t，n＝-5，∵m-n≤6，∴t+5≤6，∴t≤1，

∴-≤t≤1；

②當點D′在點H（4，-5）下方時，

同理可得：t＜-，m＝t，n＝2t-4，

由m-n≤6，得t-（2t-4）≤6，

∴t≥-2，∴-2≤t＜-．

綜上所述，t的取值范圍為：﹣2≤t≤1．