Question

已知⊙M的直徑AB的兩側(cè)有定點(diǎn)O和動(dòng)點(diǎn)P，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)，過(guò)O作OP的垂線，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，且AB=10．
（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，求BP的長(zhǎng)；
（2）若A（6，0），當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)O關(guān)于AB對(duì)稱時(shí)，求OQ的長(zhǎng)；
（3）若tan∠OPQ=，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，OQ取到最大值，并求此時(shí)OQ的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圓心角、弧、弦間的關(guān)系推知OP經(jīng)過(guò)圓心M，所以在直角△BMP中，由勾股定理來(lái)求BP的長(zhǎng)度；
（2）通過(guò)相似三角形△QOP∽△BOA的對(duì)應(yīng)邊成比例得到=，即=，則易求OQ=12.8；
（3）根據(jù)正切三角函數(shù)的定義得到=，則OQ=OP．當(dāng)OP是⊙M的直徑時(shí)OQ取得最大值，再把AB的長(zhǎng)代入進(jìn)行計(jì)算即可．
解答：解：（1）如圖，連接AP．
∵AB是⊙M的直徑，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，
∴BP=AP，PO⊥AB，
∴OP垂直平分AB，即OP經(jīng)過(guò)圓心M，
∴在直角△BMP中，BP=BM=5；

（2）如圖，∵A（6，0），
∴OA=6．
∴在直角△AOB中，AB=10，OA=6，OB===8．
∵點(diǎn)P與點(diǎn)O關(guān)于AB對(duì)稱，AB是直徑，
∴OP⊥AB，且OF=PF，
∴OA•OB=AB•OF，即×6×8=×10×OF，則OF=4.8．
∴OP=9.6．
∵∠QPO=∠BAO，∠QOP=∠BOA=90°，
∴△QOP∽△BOA，
∴=，即=，則OQ=12.8；

（3）∵tan∠OPQ=，
∴=，
∴OQ=OP．
∵點(diǎn)P是上的動(dòng)點(diǎn)，
∴當(dāng)OP是直徑時(shí)，OP取最大值10，
∴OQ_最大=×10=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓的綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義及圓周角定理等知識(shí)，難度適中．