Question

如圖，點(diǎn)E、F分別是正方形ABCD的邊CD和AD的中點(diǎn)，BE和CF交于點(diǎn)P．求證：AP=AB．

Answer 1

證明：延長(zhǎng)CF、BA交于點(diǎn)M，
∵點(diǎn)E、F分別是正方形ABCD的邊CD和AD的中點(diǎn)，
∴BC=CD，∠BCE=∠CDF，CE=DF，
∴△BCE≌△CDF，
∴∠CBE=∠DCF．
∵∠DCF+∠BCP=90°，
∴∠CBE+∠BCP=90°，
∴∠BPM=∠CBE+∠BCP=90°．
又∵FD=FA，∠CDF=∠MAF，∠CFD=∠MFA，
∴△CDF≌△AMF，
∴CD=AM．
∵CD=AB，∴AB=AM．
∴PA是直角△BPM斜邊BM上的中線，
∴AP=BM，
即AP=AB．
分析：延長(zhǎng)CF、BA交于點(diǎn)M，先證△BCE≌△CDF，再證△CDF≌△AMF得BA=MA由直角三角形中斜邊中線等于斜邊的一半，可得Rt△MBP中AP=BM，即AP=AB．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形各邊長(zhǎng)相等、各內(nèi)角為直角的性質(zhì)，全等三角形的判定和對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線長(zhǎng)為斜邊長(zhǎng)一半的性質(zhì)，本題中求證△CDF≌△AMF是解題的關(guān)鍵．